Si $\cos A+\cos B=p$ y $\sin A+\sin B=q$ entonces halle $\cos\left( \frac {A+B}{2}\right)$ en términos de $p$ y $q$

Question

Si $\cos A+\cos B=p$ y $\sin A+\sin B=q$ entonces encuentra $\cos \left( \dfrac {A+B}{2}\right)$ en términos de $p$ y $q$ .

Mi intento: $$\cos A+\cos B=p$$ $$2\cos \left( \dfrac {A+B}{2}\right)\cos \left( \dfrac {A-B}{2}\right)=p$$ Y, $$\sin A+ \sin B=q$$ $$2\sin \left( \dfrac {A+B}{2} \right)\cos \left( \dfrac {A-B}{2} \right)=q$$ Ahora, $$\tan \left( \dfrac {A+B}{2}\right)=\dfrac {q}{p}$$ .

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Déjalo, $\dfrac{A+B}{2}=x\implies\tan x=\dfrac{q}{p}=\dfrac{\text{height}}{\text{base}}$ .

Supongamos ahora que para un triángulo rectángulo la altura es $aq$ unidades y la base es $ap$ unidades $(a\neq0)$ . Entonces la longitud de la hipotenusa es $=a\sqrt{q^2+p^2}$ unidades.

$\cos x=\dfrac{\text{base}}{\text{hypotenuse}}=\dfrac{ap}{a\sqrt{q^2+p^2}}=\dfrac{p}{\sqrt{q^2+p^2}}$ .

$\implies\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)=\dfrac{p}{\sqrt{q^2+p^2}}$ .

Answer 2

He aquí una interpretación geométrica de su trabajo: piense en los puntos $(\cos A, \sin A)$ y $(\cos B , \sin B)$ como dos puntos también llamados $A$ y $B$ en el círculo unitario. la longitud del arco se mide desde el punto inicial $O = (1,0).$ ahora,

el punto medio de la cuerda $AB$ tiene la coordenada $(p/2, q/2).$ empujamos este punto hacia el punto medio del arco $(A+B)/2$ dividiendo por su longitud para obtener las coordenadas $$\left(\frac p{\sqrt{p^2 + q^2}}, \frac q{\sqrt{p^2+q^2}}\right).$$
el $x$ -coordenadas $\frac p{\sqrt{p^2 + q^2}}$ es $\cos((A+B)/2).$

Answer 3

También se puede llegar a esto mediante variables complejas / fórmula de Euler sin demasiados problemas. Combinando reales $p,q$ en una única cantidad compleja, tenemos \begin{align} p+i q&=(\cos A+\cos B)+i(\sin A +\sin B)\\&=(\cos A+i\sin A)+(\cos B+i\sin B)\\&=e^{iA}+e^{iB}.\end{align} Si conjugamos ambos lados, entonces esto se convierte en $$p-i q=e^{-iA}+e^{-i B}=e^{-iA}e^{-iB}(e^{iB}+e^{iA})=e^{-i(A+B)}(p+i q).$$ A partir de aquí tenemos $$|p+iq|^2=(p+iq)(p-iq)=e^{-i (A+B)}(p+iq)^2\implies e^{i(A+B)}=\frac{(p+iq)^2}{|p+i q|^2} $$ y por lo tanto $$e^{i(A+B)/2}=\cos\frac{A+B}{2}+i\sin \frac{A+B}{2}=\frac{p+i q}{|p+i q|}=\frac{p+i q}{\sqrt{p+i q}}.$$

Identificando las partes reales se obtiene el coseno deseado.