Cómo calcular la integral de línea de un campo vectorial sobre una parábola

Question

Estoy intentando responder a una pregunta sobre integrales de línea, lo he intentado pero no estoy seguro de dónde se supone que debo incorporar la integral de línea en mi solución.

$$\mathbf{V} = xy\hat{\mathbf{x}} + -xy^2\hat{\mathbf{y}}$$ $$\mathrm{d}\mathbf{l} = \hat{\mathbf{x}}\mathrm{d}x + \hat{\mathbf{y}}\mathrm{d}y$$ $$\int_C\!\mathbf{V}\cdot\mathrm{d}\mathbf{l} = \int\!xy\,\mathrm{d}x - \int\!xy^2\,\mathrm{d}y = \left[ \frac{x^2y}{2}\right ]_?^? - \left[ \frac{xy^3}{3} \right]_?^?$$

Tengo la sensación de que la parábola en cuestión debe entrar en juego en los límites de las integrales, aunque no sé cómo se supone que lo hacen. La parábola en cuestión es $y = \frac{x^2}{3}$ y las coordenadas en las que se supone que pasa la integral de línea son $a=(0,0)$ y $b=(3,3)$ .

Answer 1

• También se podría utilizar una parametrización.

Establecer $x(t)=t$ y y $y(t)= t^2/3$ .

• La parábola corresponde al punto final del vector de posición :

$\vec r (t)= t\vec i + \frac {t^2}{3} \vec j$ .

• Esto permite calcular el diferencial $d\vec r$ :

$d\vec{\mathbf{r}}(t)=\vec{\mathbf{r\space '}}(t) dt = (1\vec i + (2t/3) \vec j) dt$

• Con la parametrización elegida, obtenemos $\vec{\mathbf{V}}(t)= (t. \frac{t^2}{3})\vec i - (t. (\frac{t^2}{3})^2)\vec j$

• A continuación, se puede aplicar la definición : integral de línea vectorial = $\int_C \vec V(t).d\vec r(t)= \int_{t_1}^{t_2} \vec (V(t).\vec r\space '(t) )dt$ ,

con, aquí, $t_1 = 0$ y $t_2 =3$ .

Answer 2

En este caso, es tan sencillo como introducir $y=\frac{x^2}{3}$ en la primera integral e integrando desde $x=0$ a $x=3$ . En la segunda integral, haz lo mismo, pero introduce $dy=\frac{2x}{3}dx$ . En otras palabras, parametrizar toda la curva en términos de $x$ .

En otros ejemplos (como los círculos), puede ser más conveniente parametrizar $x$ y $y$ con una variable diferente.