Aquí podríamos emplear un par de estrategias.
Método 1: Consideramos los casos en función de la frecuencia con que aparece cada dígito.
Caso 1 : Los dígitos $3$ , $4$ , $5$ cada uno aparece exactamente una vez.
Elija una de las posiciones para el $3$ uno de los cuatro puestos restantes para el $4$ y uno de los tres puestos restantes para el $5$ . A continuación, cada uno de los dos puestos restantes podrá cubrirse con uno de los restantes $10 - 3 = 7$ dígitos. Por lo tanto, hay
$$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 7^2$$
tales códigos.
Caso 2 : Exactamente uno de los dígitos $3$ , $4$ , $5$ aparece dos veces y cada una de las otras aparece exactamente una vez.
Elige cuál de los dígitos $3$ , $4$ , $5$ aparece dos veces. Elija dos de las posiciones para ese dígito. Elige una de las tres posiciones restantes para el menor de los dos dígitos restantes del conjunto $\{3, 4, 5\}$ y una de las dos posiciones restantes para el dígito restante del conjunto $\{3, 4, 5\}$ . Elige cuál de los siete dígitos restantes ocupa la posición restante. Hay
$$\binom{3}{1}\binom{5}{2}\cdot 3 \cdot 2 \cdot 7$$
tales códigos.
Caso 3 : Exactamente dos de los dígitos $3, 4, 5$ aparecen dos veces y el otro aparece una vez.
Elija cuál de los tres dígitos $3, 4, 5$ aparece exactamente una vez. Elige cuál de las cinco posiciones ocupa ese dígito. Elige dos de las cuatro posiciones restantes para el menor de los dos dígitos restantes del conjunto $\{3, 4, 5\}$ y, a continuación, rellene las dos posiciones restantes con el dígito restante del conjunto $\{3, 4, 5\}$ . Existen
$$\binom{3}{1}\binom{5}{1}\binom{4}{2}$$
tales códigos.
Caso 4 : Exactamente uno de los tres dígitos $3, 4, 5$ aparece tres veces y cada una de las otras aparece una vez. Elija cuál de los tres dígitos aparece tres veces y, a continuación, elija tres de las cinco posiciones para ese dígito. Elige una de las dos posiciones restantes para el menor de los dígitos restantes del conjunto $\{3, 4, 5\}$ y, a continuación, rellena la posición final con el otro dígito. Hay
$$\binom{3}{1}\binom{5}{3}\binom{2}{1}$$
tales códigos.
Total : Dado que estas posiciones son mutuamente excluyentes y exhaustivas, añada los casos anteriores.
Método 2: Aplicamos el principio de inclusión-exclusión.
Existen $10^5$ códigos. Queremos excluir de éstos aquellos en los que al menos uno de los dígitos $3, 4, 5$ falta.
Elegimos cuál de los tres dígitos $3, 4, 5$ para excluir, lo que deja nueve formas de cubrir cada uno de los cinco puestos. Así, restamos
$$\binom{3}{1}9^5$$
del total.
Sin embargo, si lo hacemos así, habremos restado cada caso en el que dos de los dígitos $3, 4, 5$ faltan dos veces, una por cada forma en que podríamos haber designado uno de esos dígitos como el dígito que falta. Sólo queremos restar esos casos una vez, así que debemos sumarlos al total.
Elegimos qué dos de los tres dígitos $3, 4, 5$ para excluir, lo que nos deja ocho formas de cubrir cada uno de los cinco puestos. Así, añadimos
$$\binom{3}{2}8^5$$
a nuestro total actual.
Sin embargo, si primero restamos aquellos casos en los que uno de los dígitos $3, 4, 5$ se excluye y luego se suman los casos en los que dos de los dígitos $3, 4, 5$ no habremos excluido los casos en los que los tres dígitos $3, 4, 5$ están excluidos en absoluto. Esto se debe a que primero los restamos tres veces, una por cada forma en que podríamos haber designado uno de esos tres dígitos como dígito excluido. A continuación, sumamos estos casos tres veces, una por cada una de las $\binom{3}{2}$ formas podríamos haber designado dos de esos tres dígitos como dígitos excluidos. Por lo tanto, debemos excluirlos del total.
Si los tres dígitos $3, 4, 5$ se excluyen, entonces tenemos siete opciones para cada una de las cinco posiciones. Así pues, hay
$$\binom{3}{3}7^5$$
casos en los que todos los dígitos $3, 4, 5$ están excluidos.
Según el Principio de Inclusión-Exclusión, hay
$$10^5 - \binom{3}{1}9^5 + \binom{3}{2}8^5 - \binom{3}{3}7^5$$
códigos admisibles.
Como puedes comprobar, los dos métodos dan la misma respuesta.
