Aproximadamente $\int_0^x e^{f^{-1}(t)} \; dt$ a partir de una aproximación de $f$

Question

Me pregunto si es posible tener una aproximación de esta integral

$\int_0^x e^{f^{-1}(t)} \; dt$

Sólo tengo una aproximación de $f$ : $f(\frac{i}{n}),\; i=0, \dots, n$ ?

Muchas gracias, Peter.

Answer 1

Mediante la sustitución $t=f(u)$ e integrando por partes, se puede demostrar que la integral es igual a

$$xe^{f^{-1}(x)}-\int^{f^{-1}(x)}_{f^{-1}(0)}f(u)e^udu$$

Supongamos que $f$ es monotónicamente creciente (el caso decreciente es similar). Dado que el dominio de $f$ es $[0,1]$ tenemos $0\le f^{-1}\le 1$ .

Asumiendo $f^{-1} (x)\approx 1, f^{-1}(0)\approx 0$ podemos aproximar la integral mediante la suma de Riemann $$\frac1n\sum^n_{i=1}f\left(\frac in\right)e^{i/n}$$

En conclusión, $$\int^x_0 e^{f^{-1}(t)}dt \approx xe^{f^{-1}(x)}-\frac1n\sum^n_{i=1}f\left(\frac in\right)e^{i/n} $$

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Límite del término de error

El término de error $\epsilon :=\text{actual}-\text{approximation}$ puede limitarse mediante $$\epsilon\le e\cdot f(1)(1-f^{-1}(x))+O\left(\frac1n\right)$$ $$\epsilon \ge xe^{f^{-1}(x)}(1-f^{-1}(x))+f^{-1}(0)f(0)-O\left(\frac 1n\right)$$