Sea $\alpha$ sea un ordinal, entonces $\alpha=\cup\alpha$ o $\alpha=s(\cup\alpha)$ .

Question

Sea $\alpha$ sea un ordinal, entonces $\alpha=\cup\alpha$ o $\alpha=s(\cup\alpha)$ .

Intento:

Desde $\alpha$ es transitivo $\alpha=\cup\alpha$ (aquí hemos terminado) o $\alpha\supsetneq\cup\alpha$ .

Si $\alpha\supsetneq\cup\alpha$ ya que $\cup\alpha$ es un ordinal tenemos $\cup\alpha\in\alpha$ . El axioma de regularidad implica $s(\cup\alpha)=\alpha$ (aquí hemos terminado) o $s(\cup\alpha)\in\alpha$ .

Pero no veo ninguna contradicción asumiendo $(\cup\alpha\in\alpha) \land (s(\cup\alpha)\in\alpha)$ .

Answer 1

SUGERENCIA: Demuestre que si $\alpha=s(\beta)$ entonces $\bigcup\alpha=\beta$ y si no hay $\beta$ tal que $\alpha=s(\beta)$ entonces $\bigcup\alpha=\alpha$ .

Answer 2

Para obtener una contradicción de $s(\bigcup\alpha)\in\alpha$ Obsérvese que, por definición de $s$ también tenemos $\bigcup\alpha\in s(\bigcup\alpha)$ . Así que $\bigcup\alpha$ es miembro de un miembro de $\alpha$ . Por definición de $\bigcup$ tenemos $\bigcup\alpha\in\bigcup\alpha$ contradiciendo el axioma de regularidad.

Answer 3

He aquí un enfoque alternativo.

• Primero demuestre que si $A$ es un conjunto de ordinales, entonces $\bigcup A=\sup A$ .
• Demuestre que si $\alpha$ es un ordinal límite o cero, entonces $\bigcup\alpha=\alpha$ .
• Demuestre que si $\alpha$ es un ordinal sucesor, entonces $\alpha$ (como conjunto de ordinales) tiene un máximo, que es el predecesor de $\alpha$ y $\sup\alpha=\max\alpha=\alpha-1$ .