La derivación de la Acción de Polyakov

Question

Como normalmente se hace cuando la primera presentación de la teoría de cuerdas, la Nambu-Goto Acción, $$ S_{\text{NG}}:=-T\int d\tau d\sigma \sqrt {g} $$ ($g:=\det (g_{\alpha \beta})$ es la inducida por la métrica en el mundo-la hoja y $T$ es un número real positivo interpretarse como la tensión de la cuerda), es presentado como el natural de la generalización de acción para un relativista punto de partículas, que a su vez es, obviamente, una acción correcta como se produce la adecuada ecuaciones de movimiento (y tiene una buena interpretación geométrica).

No mucho después de la introducción de la Nambu-Goto acción, los autores tienden a introducir el Polyakov acción, \begin{align*} S_{\text{P}} & :=-\frac{T}{2}\int d\tau d\sigma \, \sqrt{-h}h^{\alpha \beta}g_{\alpha \beta}=-\frac{T}{2}\int d\tau d\sigma \, \sqrt{-h}h^{\alpha \beta}\partial _\alpha X\cdot \partial _\beta X \\ & =-\frac{T}{2}\int d\tau d\sigma \, \sqrt{-h}h^{\alpha \beta}\partial _\alpha X^\kappa \partial _\beta X^\lambda G_{\kappa \lambda}(X), \end{align*} donde $G_{\kappa \lambda}$ es el espacio-tiempo métrica, $g_{\alpha \beta}$ es la inducida por la métrica en el mundo-de la hoja, y $h_{\alpha \beta}$ es el auxiliar de la métrica en el mundo-de la hoja ($h:=\det (h_{\alpha \beta})$). Luego suelen proceder a demostrar que estas dos acciones son equivalentes, en el sentido de que puede deducir las ecuaciones de movimiento para $S_{\text{NG}}$ dado que las ecuaciones de movimiento para $S_{\text{P}}$.

Ahora, que todo está bien y dandy, pero que no es exactamente de mostrar cómo una realidad podría llegar a la Polyakov acción. No se puede hacer como un físico teórico por todo sin pensar computación cosas para mostrarles llegar a la respuesta correcta; han de ser capaces de, usted sabe, ocurren cosas. Por lo tanto, en lugar de simplemente tirar de la Polyakov acción de un sombrero, sería bueno saber de una manera de la que se derive o motivar a la acción.

Entonces, imagine que usted entregó $S_{\text{NG}}$ y se dispuso a venir para arriba con un equivalente de acción que, al menos, no se trata de una raíz cuadrada. ¿Cómo se te ocurrió la Polyakov acción?

Answer 1

I) El más cercano de los cosméticos de la semejanza entre el Nambu-Goto acción y la Polyakov acción se logra si se escribe como

$$\tag{1} S_{NG}~=~ -\frac{T_0}{c} \int d^2{\rm vol} ~\det(M)^{\frac{1}{2}} , $$

y

$$\tag{2} S_{P}~=~ -\frac{T_0}{c}\int d^2{\rm vol}~ \frac{{\rm tr}(M)}{2} , $$

respectivamente. Aquí $h_{ab}$ es un auxiliar mundo-hoja (WS) métrica de Lorenz de la firma de $(-,+)$, es decir, menos en lo temporal WS dirección;

$$\tag{3} d^2{\rm vol}~:=~\sqrt{-h}~d\tau \wedge d\sigma$$

es un diffeomorphism-invariante WS volumen de forma (un área de la realidad);

$$\tag{4} M^{a}{}_{c}~:=~(h^{-1})^{ab}\gamma_{bc} $$

es una mezcla de tensor; y

$$\tag{5} \gamma_{ab}~:=~(X^{\ast}G)_{ab}~:=~\partial_a X^{\mu} ~\partial_b X^{\nu}~ G_{\mu\nu}(X) $$

es la inducida por el LR métrica a través de pull-back de la meta de espacio (TS) métrico $G_{\mu\nu}$ con Lorenz firma de $(-,+, \ldots, +)$.

Tenga en cuenta que la Nambu-Goto acción (1) en realidad no dependen de la auxiliar de WS métrica $h_{ab}$, mientras que la de Polyakov acción (2).

II) Como es bien sabido, la variación de la Polyakov acción (2) wrt. el WS métrica $h_{ab}$ conduce a que el $2\times 2$ matriz

$$\tag{6} M^{a}{}_{b}~\approx~\frac{{\rm tr}(M)}{2} \delta^a_b~\propto~\delta^a_b $$

debe ser proporcional a la $2\times 2$ unidad de la matriz en la cáscara. Esto implica que

$$\tag{7} \det(M)^{\frac{1}{2}} ~\approx~ \frac{{\rm tr}(M)}{2},$$

de modo que las dos acciones (1) y (2) coinciden en la cáscara, ver, por ejemplo, la Wikipedia de la página. (Aquí el $\approx$ símbolo significa la igualdad modulo moe.)

III) Ahora, imaginemos que sólo sabemos que la Nambu-Goto acción (1) y no el de Polyakov acción (2). La única diffeomorphism-invariante combinaciones de la matriz $M^{a}{}_{b}$ son el determinante $\det(M)$, la traza ${\rm tr}(M)$, y las funciones de los mismos.

Si, además, el TS métrica $G_{\mu\nu}$ es dimensionful, y exigimos que la acción es lineal en esa dimensión, esto nos lleva a considerar la acción de términos de la forma

$$\tag{8} S~=~ -\frac{T_0}{c}\int d^2{\rm vol}~ \det(M)^{\frac{p}{2}} \left(\frac{{\rm tr}(M)}{2}\right)^{1-p} , $$

donde $p\in \mathbb{R}$ es un poder real. Alternativamente, Weyl invariancia nos lleva a considerar la acción (8). Obviamente, la Polyakov acción (2) (correspondiente a $p=0$) no está lejos si nos gustaría simple de potencias enteras en nuestra acción.

Answer 2

Sistemas cuánticos son esencialmente definido por sus simetrías. Por ejemplo, en QFT del que espera que todos los términos que no están prohibidas por las simetrías del problema a aparecer en el Lagrangiano, irrelevantes operadores suprimida por grandes escalas, etc.

Así que creo que el primer paso en este enfoque sería para escribir la mayoría de los generales 2D QFT respetando el 2D Diff y el interior de Poincaré simetrías. El Diff de simetría que te motiva para introducir una dinámica de métricas, como ya ha hecho algo similar para el punto de partículas. Esto no acaba de llegar a la Polyakov acción, ya que las Polyakov acción tiene un Weyl simetría que la NG de acción no. Usted ha presentado una falsa grado de libertad en la worldsheet que no estaba presente en el NG acción, por lo que necesita algunos locales de simetría de principio a eliminar la redundancia grados de libertad. No sé de un modo particular, a razón de que esta simetría tiene que ser Weyl invariancia, tal vez alguien más lo hace.

Pero una vez que cree que la teoría debe tener un local de lagrange con Diff, Poincaré y Weyl simetrías, que básicamente se quedó con la Polyakov acción. El Polyakov acción (con la característica de Euler plazo) es la más general en 2D de acción con el Diff, Poincaré y Weyl simetrías y el campo asociado contenido (Polchinski p 15 ).

Así, el principio rector debe ser el simetrías de la NG de acción.

Answer 3

Tal vez le falta un fundamental punto más básico aquí. Su argumento creo, es algo que a lo largo de las líneas de "¿cómo se puede hacer hasta las acciones de teorías específicas para obtener las ecuaciones de movimiento?". Esto no es cómo funciona. La acción viene de la Lagrangiana que representa la dinámica del sistema. El Lagrangiano es entonces integrado a través de todas las dimensiones. ESTO es lo que (se) da a la ACCIÓN. Es no "acaba de sacar del aire", pero a partir de la dinámica del sistema. Es decir. desde tangible, física real de los estados de cosas.