¿Cómo es que toda función lineal es una biyección?

Question

Nunca antes había tenido problemas para entender la biyectividad, y sigo entendiéndola en teoría. Pero no entiendo cómo es posible. Te lo explico. Digamos que tenemos una función, $y=2x$ . Sabemos que se trata de una biyección. $x= \frac{y}{2}$ para cada $y \in R$ tenemos una x por lo que tenemos suryección. Entonces para $f(x_1) = f(x_2)$ llegamos a la conclusión de que $x_1 = x_2$ por lo que también es una inyección. Así que es una biyección. No tengo ningún problema para entender esto.

El problema es cuando lo pienso en números reales. Así que vamos a considerar la parte de $x \in [0,1]$ . La gama es $y \in [0,2]$ . Para cada $y$ en el rango tenemos una x respectiva, por lo que es uno a uno. Y cada valor de y tiene definitivamente una x correspondiente, por lo que también es suryectiva. Es continua en ese rango y pasa la prueba de la recta horizontal. Pero lo que no entiendo es, aunque ambos rangos $[0,1]$ y $[0,2]$ tienen infinitos números entre ellos el rango [0,2] parece tener el doble de números en $[0,1]$ intuitivamente. ¿Es un error? ¿Cómo es que esta función todavía puede ser biyectiva?

Answer 1

Nadie parece querer dar una respuesta, así que voy a lanzar mi sombrero al ruedo.

Dos grandes ideas matemáticas estrechamente relacionadas son estructura y transformación. ¿Qué estructuras se conservan con qué transformaciones?

Las biyecciones, como estás descubriendo, son un tipo de transformación que conserva cierta estructura y no mucho más. Esta estructura, que puede considerarse aproximadamente como el número de elementos de un conjunto, se conoce como cardinalidad. De hecho, se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad precisamente cuando existe una biyección entre ellos.

Has demostrado que las biyecciones no preservan el "tamaño" en el sentido de longitud o área. De hecho, la situación es mucho peor de lo que podrías sospechar. Un conjunto con $0$ área se puede poner en biyección con un conjunto con área distinta de cero. Si queremos que nuestra transformación preserve el área, tenemos que buscar una clase de transformaciones más estrecha que las meras biyecciones.