Supongamos que tenemos un total de N bolas, hay B bolas negras y W bolas blancas, de modo que N = B + W. Para simplificar, supongamos que tanto B como W son números pares. Si las emparejamos aleatoriamente para formar N/2 parejas, supongamos que la variable aleatoria L es el número de parejas de bolas negras. ¿Cuál es la expectativa de L (es decir, parejas de bolas negras)? ¿Existe alguna distribución conocida para este problema? Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
kg.
Puntos
404
Para resumir la discusión en los comentarios:
Este tipo de cosas se manejan mejor mediante variables indicadoras, explotando el hecho de que la expectativa es lineal, independientemente de cualquier posible dependencia entre las variables.
Así, dejamos que $X_i$ denotan la variable indicadora del $i^{th}$ par, por lo que $X_i=1$ si el $i^{th}$ par es $BB$ y $X_i=0$ de lo contrario. Es fácil ver que la probabilidad de que el $i^{th}$ par es $BB$ est $\frac B{B+W}\times\frac {B-1}{B+W-1}$ que es entonces $E[X_i]$ . Tenga en cuenta que, por supuesto, esto no depende de $i$ . De ello se deduce que el resultado deseado es simplemente $$E=E\left[ \sum X_i\right]=\sum E\left[X_i\right]=\frac {B+W}2\times \frac B{B+W}\times\frac {B-1}{B+W-1}=\boxed {\frac {B(B-1)}{2(B+W-1)}}$$
y hemos terminado.
Comprobación de cordura: Si $B=0$ esto da $0$ como debe ser. Si $W=0$ esto da $\frac B2$ como debería. Si $B=W$ y $B$ es grande, entonces esperamos que aproximadamente $\frac 14$ de los pares será $BB$ por lo que la respuesta debería ser $\frac B4$ que, en el límite, se confirma por la fórmula. Conviene trabajar algunos casos para pequeños $B,W$ a mano para confirmarlo, pero lo dejaré como ejercicio.
Como ejercicio bastante más difícil, podría intentar calcular la varianza del número de $BB$ pares. Esto se puede hacer de la misma manera, pero es más difícil, ya que la varianza no es lineal como lo es la expectativa. Como pista, utilice el hecho de que la varianza de una distribución $X$ est $E\left[X^2\right]-E[X]^2$ .
