Variables aleatorias de dos valores que son independientes

Question

Estoy un poco confundido sobre algunas nociones de probabilidades, y pido aclaraciones. El problema es el siguiente:

Sea $X$ y $Y$ son dos variables aleatorias, cada una de las cuales toma valores $a$ o $b$ . Supongamos que $\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$ . Prueba que $X$ y $Y$ son independientes.

Entonces, si digamos $a$ y $b$ son los valores que pueden tomar, para demostrar que son independientes, tenemos que comprobar que $\mathbb P(X=x,Y=y)= \mathbb P(X=x) \mathbb P(Y=y)$ para todos $x,y \in \left\{a,b\right\}$ ¿verdad?

¿Qué se deduce de la igualdad de expectativas?

Answer 1

Sugerencia : Esto pretende ser tanto una pista como un enfoque general para pensar en la resolución de problemas en situaciones como ésta.

Primer paso : Demostrar el resultado para un subcaso simple. Aquí la opción más obvia (¿por qué?) es tomar $a = 0$ y $b = 1$ . ¿Qué necesita comprobar?

Paso 2 : Piense en cómo podría generalizarse su planteamiento del Paso 1. En muchos casos ( Sugerencia : Este!) es posible pasar del caso concreto al general con muy poco trabajo extra. ¿Se puede tomar una variable aleatoria $X$ en $\{a,b\}$ y convertirla de forma sencilla en otra variable aleatoria $\tilde X$ en $\{0,1\}$ ? ¿Cómo permite esto concluir el resultado general?