Resolución de la integral triple sin coordenadas polares.

Question

$\int_0^1\int_0^2\int_0^3 \sqrt{(x^2+y^2)}\ dzdydx$

Realmente no me importan los límites de esta función, siempre y cuando los inferiores sean 0 y los superiores no sean funciones de x,y, o z.

¿Cómo integrar esto sin sustitución polar?

He intentado una sustitución u, pero termino con y (o x) en el denominador y al integrar con 0 como límite inferior esto se aproxima al infinito.. ¿Es necesaria aquí la regla de L'Hopital?

De cualquier manera, no veo la manera de obtener una respuesta agradable como $16\pi$ .. Agradecería cualquier orientación.

Gracias.

Answer 1

Creo que tienes problemas al resolver la integral interna con respecto a $x$ (o $y$ ). Supongamos que se quiere resolver con respecto a $x$ por lo que tiene $$\int\sqrt{x^2+y^2}dx$$ en el que $y$ se supone que es constante aquí. Para resolverlo, puede utilizar la función Sustitución de Euler estableciendo $$\sqrt{x^2+y^2}=t-x$$

Answer 2

$\int_0^1\int_0^2\int_0^3\sqrt{x^2+y^2}~dz~dy~dx$

$=\int_0^1\int_0^2\left[z\sqrt{x^2+y^2}\right]_0^3~dy~dx$

$=\int_0^1\int_0^23\sqrt{x^2+y^2}~dy~dx$

$=\int_0^1\biggl[\dfrac{3y\sqrt{x^2+y^2}}{2}+\dfrac{3x^2\ln\left(y+\sqrt{x^2+y^2}\right)}{2}\biggr]_0^2~dx$ (según http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_irrational_functions )

$=\int_0^1\dfrac{6\sqrt{x^2+4}}{2}dx+\int_0^1\dfrac{3x^2\ln\left(2+\sqrt{x^2+4}\right)}{2}dx-\int_0^1\dfrac{3x^2\ln x}{2}dx$

¿Puedes seguir desde aquí?