Es $53$ expresable en esta forma?

Question

Parece como si los números primos siempre puede ser expresado en la forma $a\cdot 2^b+c \cdot 3^d$ para algunos de los números enteros no negativos $b,d$$a,c\in \{-1,0,1\}$.

Ejemplos:

$2=1\cdot 2^1+0\cdot 3^d$

$3=0\cdot 2^b+1\cdot 3^1$

$5=1\cdot 2^1+1\cdot 3^1$

$7=1\cdot 2^2+1\cdot 3^1$

$11=1\cdot 2^3+1\cdot 3^1$

$13=1\cdot 2^2+1\cdot 3^2$

$17=1\cdot 2^3+1\cdot 3^2$

$19=1\cdot 2^4+1\cdot 3^1$

$23=1\cdot 2^5+(-1)\cdot 3^2$

$29=1\cdot 2^5+(-1)\cdot 3^1$

$31=1\cdot 2^5+(-1)\cdot 3^0$

$37=1\cdot 2^6+(-1)\cdot 3^3$

$41=1\cdot 2^5+1\cdot 3^2$

$43=1\cdot 2^4+1\cdot 3^3$

$47=1\cdot 2^7+(-1)\cdot 3^4$

Llegamos a una pared de ladrillo en $53$. ¿Alguien puede confirmar si $53$ es/no es expresable?

¿Qué acerca de la $n\in \mathbb{N}$ en general? Es posible expresar siempre la $n$ en esta forma?

Gracias.

EDIT: la he inventado esta pregunta por mi cuenta, no hay fuentes.

Nota: La razón por la que empecé con los números primos es porque he encontrado que es difícil encontrar una expresión para $6$, mientras que los números primos siguieron a ser fácil encontrar expresiones para (fácil hasta $53$, que es).

Answer 1

Se puede comprobar que para cualquier $k,l$ tenemos que $$2^k \not\equiv 3^l+53 \pmod{117}$$ y que $$2^k+53 \not\equiv 3^l\pmod{117}$$ Sólo la enumeración de los distintos poderes.

Edit: Si se consideran los conjuntos de $Q_t = \{2^{k_1}3^{k_2}\dots p_t^{k_t}, k_1,\dots,k_t \ge 0\}$ y pregunte por enteros no en $Q_t$ o de la suma o diferencia de los elementos de la $Q_t$ entonces me encontré con el uso de este método que 103 es el más pequeño utilizando los números primos hasta 3 y que 583 es el más pequeño utilizando los números primos hasta 5 y suponemos que 3737, 16579 y 41969 son los que menos números enteros mediante números primos hasta 7, 11 y 13 resp.

Parece probable que hay siempre un número entero que no puede ser escrito de esta forma para cualquier conjunto de números primos, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.

Answer 2

Vamos a contar los números enteros positivos a a $X$ de la forma $2^b+3^d$. Es fácil ver que hay en la mayoría de un número constante de veces $\log^2 X$ de ellos. Que la misma afirmación es verdadera para los números enteros de la forma $|2^b-3^d|$ es mucho menos evidente, pero sigue de lo que se llama los límites inferiores para lineal de las formas en logaritmos (para este problema exacto, primero fueron utilizados por Ellison en la década de 1970). En particular, el número de enteros positivos en $[1,X]$ que puede ser escrito como $a \cdot 2^b + c \cdot 3^d$ es a lo más un número constante de veces $\log^2 X$. De ello se desprende que, para cualquiera lo suficientemente densa conjunto de números enteros, la mayoría de ellos no será de la forma $a \cdot 2^b + c \cdot 3^d$. En el caso de los números primos, no son de orden $X/\log X$ a a $X$, casi el 100% de los que no son de la forma deseada. Como conclusión se llega si se preguntan la misma pregunta acerca de, por ejemplo, cuadrados, cubos, o los números de Carmichael.