Definición de la función opuesta

Question

Cómo definir el opuesto de una función. Si por ejemplo tengo la función F(x) = y cómo se puede utilizar para definir la función f(y) = x

Answer 1

Lo que busca se llama _función inversa_ $f^{-1}(x)$ de una función biyectiva $f(x)$ . La inversa de una función existe si y sólo si la función es biyectiva si y sólo si es a la vez uno a uno y sobre.

El proceso de encontrar la inversa depende de la función biyectiva. Podemos tomar algo bastante simple, por ejemplo $$f(x) = y = x^3$$

Primero resolvemos para expresarlo en función de $y$ ( $f(y)): \sqrt[\large 3]{y} = \sqrt[\large 3]{x^3} = x$ . Ahora tenemos $x = \sqrt[\large 3] y$ . Entonces la inversa de la función original $f(x)$ se obtiene intercambiando las posiciones de "x" e "y". $$f^{-1}(x) = \sqrt[\large 3]{x}$$

Siempre se puede comprobar la respuesta evaluando la función compuesta para confirmar que $$f^{-1}\Big(f(x)\Big) = f\left(f^{-1}(x)\right) = x$$

Answer 2

Si $f: X\to Y$ es una función, entonces una función $g: Y\to X$ tal que $f(x) = y$ sólo si $g(y) = x$ se denomina función inversa de $f$ y se escribe $f^{-1}$ .

Si tal función ha de existir, $f$ tienen que ser biyectivas. Tiene que ser suryectiva para la función $g$ que se definan en todos los $Y$ y debe ser inyectiva para que lo anterior esté bien definido.

En términos más generales, $f$ es inyectiva si y sólo si existe una función $g:Y\to X$ tal que $f(x)=y$ implica $g(y) = x$ y $f$ es suryectiva si y sólo si existe una función $g: Y\to X$ tal que $g(y) = x$ implica $f(x) = y$ .