Superficies de Kummer no proyectivas

Question

Esta es una pregunta de una nota en línea. Que $A$ sea una bidimensional $\mathbb C$ -toro. Y hay una involución en $A$ : $A\to A, x\mapsto -x$ . La acción tiene 16 puntos fijos. Sea $Y:=A/\{\pm1\}$ entonces $Y$ es una superficie compleja con 16 puntos dobles ordinarios. Sea $X$ sea la explosión de $Y$ en los 16 puntos singulares. Después de algunos cálculos, podemos ver $X$ es un $K3$ superficie. Entonces se afirma que si $A$ no es proyectivo, entonces $X$ no es proyectiva y obtenemos un ejemplo de una no proyectiva $K3$ superficie. Pero me siento confundido por qué "si $A$ no es proyectivo, entonces $X$ no es proyectiva".

Lo sé desde $A\to X$ es finito, por lo que si $Y$ es proyectivo, entonces podemos retrotraer un haz de rectas amplio a una recta amplia a $A$ . Pero no veo por qué $X$ es proyectivo implica $Y$ ¿es proyectivo? ¿Tenemos que contraer una curva racional sobre una superficie compleja preserva la proyectividad?

Answer 1

De hecho, $X$ es proyectivo si y sólo si $A$ es proyectiva.

Si $A$ es proyectivo, entonces $Y$ lo es, al ser el cociente de una variedad proyectiva por un grupo finito (se trata de un modelo de juguete del GIT, véase este MO pregunta). A continuación, $X$ también es proyectiva, ya que es la ampliación de la variedad proyectiva $Y$ en un número finito de puntos.

Por el contrario, supongamos $X$ proyectivo. Entonces hay una doble cobertura $\tilde{A} \to X$ donde $\tilde{A}$ es la ampliación de $A$ en su $16$ puntos de orden $2$ . Esto demuestra que $\tilde{A}$ es proyectivo, por lo que el blow-down $A$ también es proyectiva (un argumento alternativo es observar que $X$ proyectivo implica $Y$ proyectivo y así $A$ proyectivo, ya que contraer un $(-2)$ curva sobre una superficie proyectiva preserva la proyectividad, como se explica en el comentario de abx).