Secuencia monótona con una subsecuencia acotada

Question

¿Cuál es la prueba del siguiente teorema?

"Si una secuencia es monótona y tiene una subsecuencia acotada, entonces también es acotada".

Answer 1

Sea la secuencia $(a_i)_{i=1}^{\infty}$ . Dado que es monótono (aquí se supone creciente; decreciente funciona igual), $a_i \le a_{i+1}$ para todos $i$ .

Por supuesto, tiene una subsecuencia acotada $(a_{i_j})_{j=1}^{\infty}$ , donde $i_j < i_{j+1}$ para todos $j$ .

Ya que esto está acotado (usando acotado aquí arriba), existe un $B$ tal que $a_{i_j} \le B$ para todos $j$ . Dado que se trata de una subsecuencia para cualquier $k$ hay un $j$ tal que $k \le i_j$ (podemos elegir cualquier $j \ge k$ por el propiedad de subsecuencia).

Desde $a_{i_j} \le B$ y $k \le i_j$ y $a$ es monótonamente creciente, $a_k \le B$ . Por lo tanto, toda la secuencia está acotada (por $B$ ).

Esto es para el incremento monotónico. En este caso, $a_i \ge a_1$ para todos $i$ , por lo que obtenemos este límite inferior trivial.

Para decrecimiento monotónico, invierte todas las desigualdades.

Answer 2

Creo que el OP quiere decir "delimitado". Se puede demostrar que una sucesión monótona acotada es Cauchy, y una sucesión Cauchy con una subsecuencia convergente debe converger a ese límite subsecuente.