Demuestre que el grupo fundamental de la botella de Klein es isomorfo a un grupo dado

Question

Estoy intentando resolver una pregunta que me pide que construya un mapa de cobertura a partir de $\mathbb{R}^2$ a la botella Klein K y utilizarlo para mostrar $\pi_1(K)$ es isomorfo al grupo cuyos elementos son pares de enteros con la operación de grupo no abeliano dada por

$$(m,n) \space\star\space (x,y) = (m\space+\space(-1)^nx,\space n+y)$$

He construido el mapa de cobertura y estoy bastante seguro de haber encontrado $\pi_1(K)$ ser el grupo $< x,y \space|\space xyx^{-1}y >$ pero no encuentro cómo construir un ismomorfismo entre éste y el grupo dado.

Si alguien pudiera indicarme cómo conseguiría tal isomorfismo se lo agradecería mucho.

Answer 1

Existen exactamente dos productos semidirectos diferentes $\Bbb Z\rtimes \Bbb Z$ . Vienen dadas por un homomorfo de grupo $\psi:\mathbb{Z}\rightarrow Aut({\mathbb{Z}}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . Así que tenemos $\mathbb{Z} \rtimes_{n \rightarrow id}\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}^2$ y $\mathbb{Z} \rtimes_{n \rightarrow (-1)^nId} \mathbb{Z}$ . Dado que el grupo fundamental de la botella de Klein es un grupo no abeliano, que es un producto semidirecto de $\Bbb Z$ por $\Bbb Z$ debe ser isomorfo a su grupo.

Referencia: ¿Cuáles son los productos semidirectos de $\mathbb{Z}$ con ella misma? (Compruebe mi trabajo por favor)