Entiendo cómo derivar que el intervalo espaciotemporal es invariante para el espacio de Minkowski, pero nunca he visto ninguna derivación de ello en el espaciotiempo curvo general. ¿Se deriva la invariancia sólo para el espacio de Minkowski y luego se postula que se mantiene para todos los tensores métricos en la relatividad general, o hay alguna prueba que demuestre que es invariante en la relatividad general?
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JRT
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No se puede deducir la invariancia del elemento de línea porque es uno de los supuestos en los que se basa la relatividad (en sus dos vertientes). Cuando dices:
Entiendo como derivar el intervalo espaciotiempo siendo invariante para el espacio de minkowski
Supongo que te refieres a que puedes demostrar que las transformaciones de Lorentz conservan el elemento línea. Sin embargo, la mayoría de nosotros pensaría que la invariancia del elemento lineal es más fundamental, y derivaría las transformaciones de Lorentz del requisito de que se preserve el elemento lineal.
No existe un equivalente sencillo a las transformaciones de Lorentz en relatividad general. Las transformaciones de Lorentz son transformaciones de coordenadas, pero muy sencillas, ya que la transformación se produce entre sistemas de coordenadas inerciales en un espaciotiempo plano. Las transformaciones de coordenadas se utilizan mucho en la RG, pero suelen ser mucho más complejas que las transformaciones de Lorentz.
Sin embargo en GR, al igual que en SR, la invariancia del elemento de línea:
$$ ds^2 = g_{\alpha\beta} dx^\alpha dx^\beta $$
siempre se aplica aunque la métrica $g_{\alpha\beta}$ suele ser más complicado.
Veamos una transformación de coordenadas invertible arbitraria: $$ x^\mu \rightarrow x'^{\mu}=x'^{\mu}(x^\nu). $$ El jacobiano correspondiente $\Lambda$ $$ \Lambda^\mu_{\rho}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\rho}}$$ es invertible $$ \Lambda_{\sigma}^{\nu}=\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\sigma}}.$$ Un vector se tansforma como $$x'^\mu=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\sigma}}x^\sigma=\Lambda^\mu_{\sigma}x^\sigma.$$ La propiedad que define a un tensor de segundo rango (el tensor métrico es un tensor de este tipo) es que se transforma como $$g'_{\rho\sigma}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\rho}}\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\sigma}}g_{\mu\nu}=\Lambda_{\rho}^{\mu}\Lambda_{\sigma}^{~~\nu}g_{\mu\nu}.$$
Con esto en mente, vamos a probar el cálculo tensorial en nuestro elemento de línea:
\begin{align} ds'^2 & = g'_{\mu\nu}dx'^\mu dx'^\nu \\\\ & =g'_{\mu\nu}\Lambda^\mu_{\rho}\Lambda^\nu_{\sigma}dx^\rho dx^\sigma\\\\ & = g_{\mu\nu}dx^\rho dx^\sigma \\\\ & = ds^2.\end{align} Ese sería el cálculo de libro de texto para la invariancia del elemento de línea utilizando el cálculo tensorial. Para demostrar la propiedad de transformación de un tensor de segundo rango habría que expresarlo todo mediante vectores base y utilizar las relaciones de esos vectores base.
Así que la invariancia del elemento de línea es más bien una característica del tensor calcus. Un escalar es invariante bajo transformaciones de coordenadas que no tienen nada que ver con la relatividad especial o general.
Sarath
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El intervalo espaciotemporal es un concepto del espaciotiempo de Minkovski. También aparece en la relatividad general en su forma infinitesimal $ds$ , ya que los principios de la relatividad especial se aplican localmente dentro del espaciotiempo curvo de la relatividad general. En la relatividad general, las distancias entre dos puntos en el espaciotiempo curvo se describen mediante geodésicas o mediante una integral de trayectoria sobre $ds$ .
