En el libro 'Probabilistic Number Theory I Mean- Value Theorems' de P.D.T.A. Elliott el escritor menciona el siguiente hecho sin prueba. Hecho: $$ \sum_{\substack{p\neq q\\ p^k q^l\leq x}} \!\! p^k q^l \ll \frac{x^2 \ln \ln x}{\ln x}. $$ ¿Podría alguien ayudarme a demostrarlo? Agradecería cualquier ayuda o sugerencia. Gracias de antemano.
Respuesta
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El argumento debe ser algo como esto, creo, pero supongo que algo está mal porque no estoy usando $p\not =q$ .
A partir de la cota superior de Chebyshev para los primos tenemos para cualquier $X>1$
\[ \sum _{p^k \leq X}p^k \leq X \left ( \sum _{p \leq X}1+ \sum _{k \geq 2 \atop {k \leq \log X/ \log 2}} \sum _{p \leq X^{1/k}} \right ) \ll \frac {X^2}{ \log X}+X^{3/2} \log X.\]
En su suma, debemos tener que uno de $p^k$ o $q^l$ es $\leq \sqrt x$ vamos a atar los que tienen $q^l\leq \sqrt x$ es decir $\log x/q^l\gg \log x$ . Estos contribuyen a su suma
\[ \leq \sum _{q^l \leq x \atop {q^l \leq \sqrt x}}q^l \cdot \frac {x^2}{q^{2l} \log (x/q^{l})} \leq \frac {x^2}{ \log x} \sum _{q^l \leq x} \frac {1}{q^l}.\]
Se sabe que la suma de los recíprocos de los primos es asintóticamente $\log \log x$ por lo que la suma anterior es
\[ \leq \sum _{q \leq x} \frac {1}{q}+ \sum _{n=1}^ \infty \frac {1}{n^2} \ll \log \log x.\]
