Similitud entre el álgebra de Lie y la teoría de grupos

Question

En este semestre estoy tomando una clase sobre álgebra de Lie. Estoy bastante sorprendido porque la teoría del álgebra de Lie tiene una estructura muy similar a la teoría de grupos. He aquí algunas de mis observaciones:

1. La noción de nilpotente y soluble es casi la misma y sus propiedades son similares.

2. La teoría de la representación también es similar. Por ejemplo, el lema de Schur es válido para la representación de grupos y álgebras de Lie.

3. La clasificación de las álgebras de Lie y los grupos finitos tiene partes similares, como los grupos excepcionales de tipo Lie y algunos grupos matriciales.

Son sólo algunas observaciones, por lo que puede ser un conjunto de fenómenos sin sentido. Pero, ¿sabe usted alguna razón sistemática de este fenómeno, entonces por favor dígame algo. Sólo tengo una explicación ingenua: el conmutador de grupos y los frenos de Lie tienen propiedades muy similares. Tal vez la correspondencia álgebra de Lie - grupo de Lie tenga algo que ver, pero en mi intuición el álgebra de Lie de dimensión finita es similar a los grupos finitos y los grupos de Lie son infinitos, por lo que puede no ser la respuesta definitiva. ¿Hay alguna razón sistemática?

Answer 1

Hay varias "razones sistemáticas". Por ejemplo Correspondencia con Lazard entre $p$ -grupos y $p$ -Anillos de Lie (álgebras). Para los grupos de Lie y las álgebras de Lie tenemos la Correspondencia grupo de Lie - álgebra de Lie . No obstante, también hay que tener en cuenta las diferencias entre los grupos y las álgebras de Lie. Después de todo, la clasificación de los grupos simples finitos y la de las álgebras de Lie simples de dimensión finita no son tan "similares".