Toda la función es cero.

Question

Sea $a\in\mathbb{R}$ , $f$ sea una función entera sobre $\mathbb{C}$ y la desigualdad $$\int\limits_0^{2\pi} |f(re^{i\theta})|\text{d}\theta\le r^a$$ es válido para $r>0$ .

¿Podemos demostrar que $f\equiv0$ ?

Por la fórmula integral de Cauchy, $f(0)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} f(re^{i\theta})\text{d}\theta,\forall r>0$ . Así que $|f(0)|\le \frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} |f(re^{i\theta})|\text{d}\theta\le\frac{r^a}{2\pi},\forall r>0$ .

Teorema. Sea $G$ sea un conjunto abierto conexo y $f:G\rightarrow \mathbb{C}$ sea una función analítica. Entonces las siguientes son afirmaciones equivalentes:

$(1)f\equiv0$

$(2)$ hay un punto $s$ en $G$ tal que $f^{(n)}(s)=0,\forall n\ge 0$

$(3) \{z\in G:f(z)=0\}$ tiene un punto límite en $G$

Para demostrar que $f\equiv0$ basta con demostrar que $f^{(n)}(0)=0,\forall n\ge 0$ pero no sé cómo probarlo. Si podemos encontrar un punto límite en $\{z\in G:f(z)=0\}$ también podemos probar la afirmación, pero no la encuentro.

Por el teorema de Liouville, si podemos demostrar que $f$ está acotada, entonces es fácil demostrar la afirmación. Tal vez la fórmula integral de Cauchy sea útil para resolver este problema.

¡Estoy atascado en esto por un tiempo y voy a apreciar mucho la ayuda!

Answer 1

Elige $|z|=r$ y que $R=2r$ por Cauchy se tiene $2\pi if(z)=\oint_{|w|=R}\frac{f(w)dw}{w-z}$ así que usando eso $|dw|=Rd\theta, |w-z| \ge R/2$ se entiende que $2\pi |f(z)| \le 2\int\limits_0^{2\pi} |f(Re^{i\theta})|\text{d}\theta\le 2R^a \le 2^{a+1}r^a$ desde $R=2r$

Es decir $|f(z)| \le C|z|^a$ lo que implica por las manipulaciones habituales que $f$ es cero si $a<0$ y $f$ es un polinomio de grado máximo $m=[a]$ si $a \ge 0$ con un cero de orden al menos $m$ a cero; por tanto $f(z)=Az^m$ pero entonces $\int\limits_0^{2\pi} |f(Re^{i\theta})|\text{d}\theta=2\pi |A|R^m$ y puesto que $a=m+c, 0 \le c<1$ se obtiene $2\pi A \le R^c, R >0$ lo que obviamente no es cierto para $0<c<1, A \ne 0$ dejando $R \to 0$ . Sin embargo, es evidente que se puede tener $f(z)=Az^m, 2\pi |A| \le 1$ para $a=m$ integral.

Así que la respuesta completa es que $f=0$ si $a$ no es integral (no negativa), sino que $f$ puede ser distinto de cero $Az^a, 2\pi |A| \le 1$ si $a$ integral no negativa