Una declaración equivalente a $\exists ! x P(x)$

Question

Estoy tratando de escribir una declaración en la lógica de los símbolos que dice que hay un único $x$ tal que $P(x)$ es cierto. He oído hablar de escrito esto como $\exists !x P(x) $. Pero creo que no se me permite usar el símbolo $\exists !$. Ahora estoy tratando de escribir una declaración equivalente sin el uso de ese símbolo. Me he encontrado con dos declaraciones, pero no estoy seguro de si uno de ellos es correcto:

1. $\exists x ,\lnot \exists y (P(x) \land P(y) \land \lnot (x=y))$

2. $\exists x P(x) \land \lnot \exists y (P(y) \land \lnot (x=y))$

Mi duda con el primero es que nunca he visto una construcción como $\exists x, \lnot \exists y (...)$.

Mi duda con la segunda es que no estoy seguro de si la variable $x$ en esta parte $\lnot \exists y (P(y) \land \lnot (x=y))$ se interpreta como una variable libre o como la variable con la propiedad $\exists x P(x) $.

Answer 1

Su segunda declaración es casi correcta, pero necesita algunos paréntesis. Quiere decir "hay un $x$ tal que $P(x)$ y no otro $y$ $x$ diferente es tal que el $P(y)$." Esto se formaliza como: $$\exists x [P(x) \wedge \forall y (x \neq y \rightarrow \neg P(y))]$ $

donde $x \neq y$ abrevia $\neg (x = y)$. Como alternativa, puede escribir: $$\exists x [P(x) \wedge \neg\exists y (x \neq y \wedge P(y))]$ $

que es como tu respuesta, con apropiados entre paréntesis.

Answer 2

En su segunda expresión, usted tiene todo el derecho de las piezas (proposiciones) se refiere, pero es necesario comprobar que entre paréntesis es necesario "poner las piezas juntas".

Tenga en cuenta que en lo que escribió:

$$\color{blue}{\bf \exists x P(x)} \land \color{red}{\bf \lnot \exists y (P(y) \land \lnot ({\color{black}{\bf x}}=y))}$$

...tenemos la conjunción de dos estados (unidos por $\land$). La aparición de $x$ en la mano derecha de la expresión no está relacionada con su aparición en la mano izquierda (azul) de la proposición. Es decir, $x$ es independiente de la derecha. Queremos decir que su aparición en el derecho es el mismo $x$ somos delimitación de la izquierda, así que tenemos un gran soporte para encerrar todo lo que sigue a $\exists x$. Que nos da:

$$\color{blue}{\bf \exists x \Big[P(x) \land \lnot \exists y (P(y) \land \lnot (x=y))\Big]}\tag{$\daga$}$$

Y con el añadido, que todo es bueno: $\dagger$ es ahora equivalente a $\exists\, !\, x \,P(x)$.

Answer 3

Recuerde que $\lnot\exists y(\dots)$ es lo mismo que $\forall y\lnot(\dots)$, la primera es equivalente a:

$$\exists x\forall y \left(\lnot P(x)\lor \lnot P(y)\lor(x=y)\right)$$

Así que, como otro cartel dicho, todo lo que necesita es $\exists x:\lnot P(x)$ a probar esta afirmación. Esta afirmación que en realidad dice es algo más complicado.

La segunda afirmación es correcta, aunque no me importaría el paréntesis que hay:

$$\exists x \left(P(x) \land \lnot \exists y \left(P(y) \land \lnot (x=y)\right)\right)$$

y, de nuevo, usted puede reemplazar a $\lnot\exists y$$\forall y\lnot$, que otras respuestas anteriores han hecho.

Pero prefiero pensar de $\exists!$ como abreviatura de "hay uno, y en la mayoría de uno". Es decir, los dos completamente independiente declaraciones acompañado por $\land$. Así que me gustaría escribir como:

$$\left(\exists xP(x)\right)\land\forall y\forall z \left(\left(P(y)\land P(z)\right)\implies y=z\right)$$

Answer 4

La primera de ellas no es correcta. Considere el caso donde $\forall x, \neg P(x)$; entonces es cierto que existe $x$ tal que no $y$ satisface a la vez $P(x)$ y otras condiciones.

La segunda es la correcta (suponiendo que el paréntesis derecho). Tal vez si reescribirla como $\exists x (P(x) \wedge \forall y (P(y) \Rightarrow x=y))$ será más clara.