¿Si una función continua es positiva en los racionales, es positiva en casi todas partes?

Question

He hecho esta pregunta, pero es incapaz de resolver:

Deje que $f : \mathbb R \to \mathbb R$ ser una función continua tal que $f(x) > 0$ para todo $x \in \mathbb Q$. Es necesario que $f(x) > 0$ en casi todas partes?

Este es mi intento.

1. Es fácil demostrar que $f(x) \geq 0$ en todas partes, así que la pregunta real es si $f$ puede ser cero en un "casi todos" irracional puntos.

2. La función puede ser $0$ en puntos aislados, por ejemplo, $f(x) = (x - \sqrt{2})^2$. En particular, la calificación de "casi" es necesario que la cuestión de ser trivial.

3. Cada punto racional de un barrio donde $f$ es positivo. Por lo tanto, al menos, saber que el conjunto $\{ x \,:\, f(x) > 0 \}$ no es una medida-la puesta a cero.

4. Yo primero asumido erróneamente que Thomae función proporciona un contra-ejemplo para esto. De hecho, es positiva en todos los racionales y cero en todos los irrationals, pero la función es continua en sólo el irrationals, no en todas partes.

Entonces traté de demostrar que la pregunta tiene una respuesta afirmativa, pero no tienen mucho progreso. Por favor, sugiera algunas sugerencias!

Answer 1

Aquí le damos una pista: Si usted puede pensar cerrado conjunto $C \subset \mathbb{R}$ de medida positiva que contiene no racionales, entonces la función de envío de $x$ a su distancia de $C$ es un ejemplo.

(He cambiado esto porque me di cuenta que necesitaba un toque)

Answer 2

He aquí otro enfoque a la cuestión, en la sugerencia de la forma:

(1) Construir una función $f(x)$ es continua, no negativo, positivo en $x=0$, acotada arriba por 1, y apoyado en un intervalo de longitud 1.

(2) Deducir que si $a,b>0$ y $c$ son números reales, entonces $f(b(x-c))$ es continua y no negativa, positiva en $x=$ c, delimitada por encima de $a$, y apoyado en un intervalo de longitud en más de 1 $/b$.

(3) Deje de $q_1,q_2,q_3,\dots$ ser una enumeración de los racionales. Demostrar que la función $$\sum_{j=1}^\infty 2^{-j} f\big( 2^j(x-q_j) \big)$$ es continua y no negativa, positiva en cada número racional, pero igual a cero en un conjunto de medida infinita.