Me he encontrado bastante confuso al respecto. Empecé leyendo un libro titulado Mathographics, de Robert Dixon, en el que se explican diferentes métodos para obtener pi. Uno de los métodos consiste en rectificar un círculo, lo que me hizo preguntarme cómo hacer formas con la misma medida de perímetro.
Al principio, supuse que si tomas el perímetro de cualquier objeto y lo manipulas en cualquier forma, siempre debería mantener la misma área... pero aparentemente esto no funciona con círculos y cuadrados... o incluso triángulos. ¿Es cierto que cualquier forma equilátera con la misma medida de perímetro nunca mantendrá la misma área? ¿Y por qué no? Sé que matemáticamente no funciona. He hecho los cálculos para demostrar que no funciona con círculos y triángulos... ¿pero por qué? ¿De dónde viene mi confusión?
Respuestas
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Si $P_1P_2\dots P_n$ es un polígono regular. Sea $O$ el centro del polígono. Sea $\alpha=2\pi/n$ y $OP_1=r$ . El perímetro es $n\times 2r \sin(\alpha/2)=n \times 2r \sin(\pi/n)$ . La zona es $n \times 2r\sin(\alpha/2)\times r \cos(\alpha/2)=n \times 2r\sin(\pi/n)\times r \cos(\pi/n)$ .
Si $Q_1Q_2 \dots Q_k$ es otro polígono regular con el mismo perímetro que $P_1P_2 \dots P_n$ . El centro es $O$ también. Deja que $OQ_1=r'$ Entonces $n \times 2r \sin(\pi/n)=k \times 2r'\sin(\pi/k)$ .
Si la zona es la misma, $n \times 2r\sin(\pi/n)\times r \cos(\pi/n)=k \times 2r'\sin(\pi/k)\times r' \cos(\pi/k)$ .
Así que $r \cos (\pi/n)=r' \cos(\pi/k)$ .
y $k \times 2r'\sin(\pi/k)=n \times 2r \sin(\pi/n)$ .
Así que $k \sin(\pi/k)\cos(\pi/n)=n\sin(\pi/n)\cos(\pi/k)$ .
Así que $k \tan(\pi/k)= n \tan(\pi/n)$ .
Pero si $k, n \geq 3$ como $x \mapsto \tan(x)/x$ es estrictamente creciente en $]0, \pi/3]$ no podemos tener $k \tan(\pi/k)= n \tan(\pi/n)$ por lo que no podemos tener la misma área y el mismo perímetro para $P_1\dots P_n$ y $Q_1 \dots Q_k$ si $n \neq k$ .
Tu intuición es defectuosa.
Considere un cuadrado $12$ pulgadas de largo y $12$ pulgadas de alto. Tiene perímetro $48$ pulgadas y un área $144$ pulgadas cuadradas.
Apriételo para que ahora esté $1$ pulgadas de alto y $23$ pulgadas de largo. Todavía tiene perímetro $48$ pulgadas. Pero su área es ahora $23$ pulgadas cuadradas. ¿De dónde salió el $121$ pulgadas cuadradas?
En los comentarios comentabais que al aplanarlo estamos sacando un borde por $11$ pulgadas pero encogiendo el otro en $11$ pulgadas para que la zona se mantenga equilibrada.
Pero el aumento $12$ pulgadas por $11$ pulgadas es proporcionalmente mucho menos significativo que de arrugando $12$ pulgadas por $11$ pulgadas.
Hemos aumentado el lado por $\frac {12 + 11}{12} = \frac {23}{12} = 1.916666..... $ veces más.
Hemos disminuido el otro lado para ser sólo $\frac {12 -11}{12} = \frac 1{12} = .083333....$ veces más.
Así que el área será ahora $1.91666666..... * .0833333 = 0.159722222....$ tanto.
De hecho, la zona original era $12*12 = 144$ y la nueva zona es $12*12*\frac{12 +11}{12}*\frac{12 - 11}{12} = 12*12*\frac{23}{12}*\frac{1}{12} = 23*1$ .
El "secreto" es similar al de calcular las victorias frente a las derrotas como porcentajes. $a -x$ es un diferente porcentaje de $a$ entonces $a + x$ es de $a$ . Por tanto, aumentando un lado en $x$ y disminuyendo el otro $x$ mantienen el mismo absoluto pero no el mismo proporcional valores. Por tanto, la zona no mantendrá la proporcionalidad. Pero el perímetro absoluto se mantendrá constante.
O en otros palabras. $a*a = a^2$ pero $(a+x)(a-x) = a^2 - x^2 \ne a^2$ . El área es no preservado cuando el perímetro lo está.
(Y viceversa. $a*b = Area$ pero $(a+x)\frac {ab}{a+x} = ab = Area$ mientras que $\frac{ab}{a+x} \ne b - x$ . El área se conserva pero el perímetro se no .)
