¿Es F[x] isomorfo a Z para cualquier campo F?

Question

Me pregunto si el anillo de polinomios $F[x]$ con coeficientes en el campo $F$ es siempre isomorfo a $\mathbb{Z}$ para algún campo $F$ .

Para todos los campos que he examinado, como $F = \mathbb{C}$ o $F = \mathbb{R}$ es cierto que ambos $\mathbb{C}[x]$ y $\mathbb{R}[x]$ no puede ser isomorfo a $\mathbb{Z}$ . ¿Es cierto que $F[x]$ no es isomorfo a $\mathbb{Z}$ para cualquier campo $F$ ? En caso afirmativo, ¿hay alguna forma de demostrarlo en general?

Gracias.

Answer 1

Si existiera tal isomorfismo de anillos, entonces los grupos aditivos serían isomorfos. Sin embargo, el grupo aditivo de $\mathbb{Z}$ es cíclico. Ahora, ¿puede el grupo aditivo de $F[x]$ ser cíclico?

Answer 2

No existen tales campos.

Si $\phi: F[x] \to \mathbb Z$ es un homomorfismo de anillo, entonces también lo es su restricción a $F$ . Esta restricción debe ser una inyección. Por lo tanto, $\phi(F)$ es un subcampo de $\mathbb Z$ que no tiene subcampos.