Determinante $n\times n$ problema

Question

$$ D_n = \left| \begin{matrix} n & -1 & -3 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ n & 1 & 2 & -3 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ n & 0 & 1 & 2 & -3 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ n & 0 & 0 & 1 & 2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ n & 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots \\ n & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 & -3 \\ n & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 2 \\ n & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right| $$

¿Alguien puede ayudarme con este determinante? Es una fórmula recursiva pero no lo consigo.

Answer 1

Añade la segunda hasta las últimas filas a la primera. Entonces la primera fila se convierte en $(n^2,0,\ldots,0)$ . La nueva matriz es triangular inferior en bloque y tiene la forma de $\pmatrix{n^2&0\\ n\mathbf1&A}$ donde $A$ es por sí misma una matriz triangular superior con determinante 1. Por lo tanto $\det D_n=n^2$ .