Límite del coeficiente binomial mediante la integral de cos^n

Question

Quiero demostrar lo siguiente:

$\lim\limits_{n\to\infty} 2^{-2n} \sqrt{n} \binom{2n}{n} =\frac{1}{\sqrt{\pi}}$

Sé que puedo utilizar $I_n=\int_0^\frac{\pi}{2}(cos(x))^ndx$ y ya he demostrado $nI_n=(n-1)I_{n-2}$ y $I_{n-1}I_n=\frac{\pi}{2n}$ .

Ahora estoy luchando para conseguir esto juntos y necesito un poco de ayuda.

Answer 1

Pista:
Puede utilizar Aproximación de Stirling para demostrarlo, $$\binom{2n}{n}\sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.$$