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Question

Aquí hay un límite interesante de una integral que no sé cómo empezar. Cualquier ayuda es muy apreciada.

$\lim_{n\to \infty}n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sqrt[n]{\sin(x)})\,\mathrm{d}x$

Sé que converge a$\frac{\pi ln(2)}{2}$, pero ¿cómo ?.

Muchas gracias

Answer 1

Un truco (y es sólo un truco) es %#% $ #% por lo $$f(x) = n(1-\sqrt[n]{\sin(x)})$$$ \sin(x) = \left(1-\frac{f(x)}{n}\right)^n$n\to\infty$ $ which in the limit $$$ \sin(x) = e^{-f_{\infty}(x)}$$ or $$f_{\infty}(x) = -\ln (\sin(x))$% $ $ which you integrate to the result: $

Answer 2

Usted puede integrar por partes en su integral, diferenciando $1 - (\sin(x))^{1 \over n}$ e integración 1. Usted obtener $$n\int_0^{\pi \over 2}(1 - \sin(x)^{1 \over n})\,dx = \int_0^{\pi \over 2}x \sin(x)^{{1 \over n} - 1}\cos(x)\,dx$$ (Ambas de la línea divisoria de los términos de evaluar a cero). En la mano derecha de la integral anterior, el integrando aumenta monótonamente a $x(\sin(x))^{-1}\cos(x) = x\cot(x)$ $n$ va al infinito. De modo que su límite es exactamente $$\int_0^{\pi \over 2}x\cot(x)\,dx$$ Este es un muy famoso integral en sí mismo, pero puede integrar por partes de nuevo en la dirección inversa (asegurándose de que los extremos ir a cero en la integral impropia) para convertirla en la integral $$-\int_0^{\pi \over 2}\ln(\sin(x))\,dx$$ Como se indicó esto es bien conocido y se evalúa a ${\displaystyle{\pi \ln2 \over 2}}$.

Efectivamente lo que está pasando aquí es que usted está usando que el límite de $\epsilon \rightarrow 0$ ${\displaystyle{1 - u^{\epsilon} \over \epsilon}}$ es el negativo de la derivada de $u^x$ $x = 0$ o $-\ln(u)$. Dejando $\epsilon = {1 \over n}$ $u = \sin(x)$ da que tu integrando (incluyendo el $n$ factor) converge a $-\ln(\sin(x))$. Entonces, la respuesta debe ser la integral de eso. Pero hacer este riguroso parece un poco complicado (para mí) así que integrado por partes y luego tuvo límites, y en la integración por partes de la espalda de nuevo.

Answer 3

Desde $$ \ lim_ {n \ to \ infty} n \ left (x ^ {1 / n} -1 \ right) = \ log (x) \ etiqueta {1} $$ converge de forma monótona, $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}n\int_0^{\pi/2}\left(1-\sqrt[\large n]{\sin(x)}\right)\,\mathrm{d}x &=-\int_0^{\pi/2}\log(\sin(x))\,\mathrm{d}x\\ &=-\frac12\int_0^\pi\log(\sin(x))\,\mathrm{d}x\\ &=-\int_0^{\pi/2}\log(\sin(2x))\,\mathrm{d}x\\ &=-\int_0^{\pi/2}\Big(\log(2)+\log(\sin(x))+\log(\cos(x))\Big)\,\mathrm{d}x\\ &=-\frac\pi2\log(2)-2\int_0^{\pi/2}\log(\sin(x))\,\mathrm{d}x\tag{2} \end {align} $$ Resolver$(2)$, obtenemos $$ - \ int_0 ^ {\ pi / 2} \ log (\ sin (x)) \, \ mathrm {d} x = \ frac \ pi2 \ log (2) \ etiqueta {3} $$

Answer 4

Sugerencia: sustituya $u=\sin x$, y considerar la función Beta.

EDIT: UNA mejor sugerencia. Para llegar a $$ - \int_0^{\pi /2} {\ln (\sin x)dx} \, \bigg( = \frac{{\pi \ln 2}}{2}\bigg), $$ considere la posibilidad de $$ \mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{{\int_0^{\pi /2} {[1 - (\sin x)^{1/r} ]dx} }}{{1/r}} = \mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{{\int_0^{\pi /2} {[1 - e^{\ln (\sin x)/r} ]dx} }}{{1/r}}, $$ seguido de L'Hospital de la regla.