Término de segundo orden ignorado [Ecuación del cohete de Tsiolkovsky].

Question

Estoy trabajando en la derivación de la Ecuación del Cohete de Tsiolkovsky, hasta ahora he empezado con la ley de newton de conservación del momento

mv = (m+dm)(v+dv)

Dónde El cohete tiene masa "m La partícula expulsada del motor tiene masa "dm" La velocidad de escape se define por "Ve" El cambio de la velocidad del cohete se define por dv El cohete tiene una velocidad actual de v

Después de distribuir y simplificar obtuve

1 0 = mdv + dmdv + dmVe

Estaba bastante atascado en este punto, así que busqué en otros artículos sobre el tema y descubrí que el siguiente paso sería "ignorar dmdv como término de segundo orden", por lo que la ecuación sería:

2 0 = mdv + dmVe

Sé bastante de Cálculo, pero debo haber olvidado (o nunca me enseñaron) los Términos de Segundo Orden. ¿Puede alguien explicarme cómo se pasa del paso 1 al paso 2?

Gracias.

Answer 1

La idea es que $dm $ y $dv $ son ambos pequeños. Cuando multiplicamos cosas pequeñas, se hacen más pequeñas, así que $dm\,dv $ es realmente pequeño. Como este término es tan pequeño, podemos simplificar el problema ignorándolo sin sacrificar demasiado la precisión. En general, un $n^\text {th} $ es cualquier término con $n $ pequeñas cosas multiplicadas juntas.

Answer 2

He estado trabajando en esto, y he encontrado otra solución que evita el producto de "infinitesimales" por completo.

Yo tenía problemas similares con esta ecuación porque la derivación se complica dependiendo de cómo definas la masa inicial (supongamos que no hay fuerzas externas en ninguno de los casos, y siempre sustituimos la velocidad de escape $V_e$ en el marco del observador con la velocidad de escape en el marco del cohete, por tanto $V_e = v - v_e$ ).

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Versión 1:

Masa inicial: $dm + m$

$p_1 = (m + dm)v$

$p_2 = dm(v - v_e) + m(v + dv)$

$p_1 = p_2$

$mv + vdm$ = $vdm - v_edm + mv + mdv$

$v_e\frac{dm}{m}$ = $dv$

Que se integra fácilmente, y convenientemente no contiene el $dmdv$ plazo.

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Versión 2:

Masa inicial: $m$

$p_1 = mv$

$p_2 = dm(v - v_e) + (m - dm)(v + dv)$

$p_1 = p_2$

$mv = vdm - v_edm + mv + mdv - vdm - dmdv$

Que es muy similar pero tiene el extra $-dmdv$ .

Me parece raro que a veces tengamos que ignorar este pequeño error y a veces ni siquiera esté ahí en primer lugar.

Conseguí un poco de perspicacia cuando intenté separar las variables, aunque mi calc no es lo suficientemente fuerte como para hacerlo riguroso:

$v_e\frac{dm}{m} = dv(1 - \frac{dm}{m}) = dv(\frac{m - dm}{m})$

$v_e\frac{dm}{m - dm} = dv$

Esto se siente como una afirmación del hecho de que es tan pequeño en comparación: la suma m - dm es básicamente m, ya que este último es mucho más pequeño que el primero.

Para completar la visión, considera esta ecuación mucho más sencilla que has hecho cientos de veces:

$y = x^2$

$$\frac{dy}{dx} = \lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h\to0}\frac{h^2 +2xh}{h} = \lim_{h\to0}h +2x = 2x$$

El truco aquí era mover las cosas hasta que la división por cero desapareciera.

Cuando empezamos nuestra derivación, utilizamos $dm$ y $dv$ pero en realidad lo estábamos usando como abreviatura de $\Delta m$ y $\Delta v$ y luego tomar el límite.

Así que volviendo a

$v_e\frac{dm}{m - dm} = dv$

Y sustituirlo por

$v_e\frac{\Delta m}{m - \Delta m} = \Delta v$

Podemos ver que habría división no por cero utilizando $\Delta m = 0$ en el denominador. Una vez más, no puedo realmente conectar los puntos de nuevo a los fundamentos, pero esto me hace pensar que este término en realidad se puede considerar con seguridad cero con suficiente rigor de cálculo, y que existe en el primer lugar debido a mi uso de términos diferenciales sin entender completamente su relación de nuevo a derivados / límites.