demostrando la existencia del supremum en $\mathbb Q$

Question

Estoy tomando una clase de análisis y estoy un poco confundido acerca de esta pregunta. También estoy sobre todo un chico de ciencias de la computación así que no soy grande en la prueba basada en matemáticas así que me disculpo si esto es ignorante

Sea $A = \{x : x \in \mathbb Q,\ x^3 < 2\}$

Demostrar que $\sup A$ existe. Adivina el valor de $\sup A$ .

Así que por lo que entiendo, si estás trabajando en el conjunto de los racionales, no puedes establecer un límite mínimo superior pero puedes encontrar el sup que en este caso sería $2^{1/3}$ Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo podría demostrarlo. Cualquier consejo sería estupendo. Gracias

Answer 1

Si $A$ es cualquier conjunto no vacío de números reales que tiene un límite superior, entonces $\sup A$ existe, por la propiedad de completitud de los números reales. Así que basta con demostrar que su conjunto $A$ no es vacío y tiene un límite superior. Confío en que pueda demostrar $A$ no es vacío (sólo tiene que dar un ejemplo de un elemento de $A$ ). Decir que $A$ tiene un límite superior significa que existe un elemento $r\in \mathbb{R}$ tal que $x\leq r$ para todos $x\in A$ . Es decir, quieres un número $r$ tal que $x\leq r$ para todos $x\in\mathbb{Q}$ tal que $x^3<2$ . ¿Se te ocurre algún número parecido?

(Resulta que $\sup A$ es realmente $2^{1/3}$ Pero no tienes que demostrarlo para resolver el problema, sólo te pide que "adivines" lo que crees. $\sup A$ es!)

Answer 2

Observe que $A\neq \emptyset$ desde $1 \in A$ y $A$ está limitada por encima por $2$ por lo que existe $\sup(A)$ . Muestras $\sup(A) = \sqrt[3]{2}$ . Esto equivale a demostrar que para cualquier $\epsilon > 0$ existe un $x \in A$ tal que $x > \sqrt[3]{2} - \epsilon\iff (x+\epsilon)^3 > 2$ . Para ello, elija primero un $n \in \mathbb{N}$ tal que $\epsilon > \dfrac{1}{n}$ y que $x = 1+\dfrac{k}{n}$ resolverá para $k$ con $0 \leq k < n$ tal que: $\left(x+\epsilon\right)^3 > 2$ . Usando la desigualdad de Bernoulli tenemos: $\left(x+\epsilon\right)^3 > \left(1+\left(\dfrac{k+1}{n}\right)\right)^3 > 1 + 3\left(\dfrac{k+1}{n}\right) > 2 \iff k > \dfrac{n-3}{n}$ . También quieres que $k < n$ . Observe $k$ siempre existe porque el intervalo $\left(\dfrac{n-3}{3}, n\right)$ tiene longitud $n - \dfrac{n-3}{3}=\dfrac{2n+3}{3} > 1$ lo que significa que contiene un número natural que usted llama $k$ y ya está.