Aproximación de $\sum_{k=1}^n (\ln k)^{1/3}, n\rightarrow \infty$

Question

¿Cómo puedo encontrar $ a_{n}$ tal que $$a_{n} \sim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n (\ln k)^{1/3} $$ ?

Intenté usar integrales:

$$ \int_{k-1}^{k} \ln(t)^{1/3} \mathrm dt\leq \ln(k)^{1/3}\leq \int_{k}^{k+1} \ln(t)^{1/3} \mathrm dt$$ pero no puedo calcular $$\int_{k-1}^{k} \ln(t)^{1/3} \mathrm dt, \int_{k}^{k+1}\ln(t)^{1/3} \mathrm dt$$

¿Alguna idea?

Answer 1

De su trabajo se deduce que $$ \sum_{k=1}^n (\ln k)^{1/3}\sim\int_{1}^{n} \ln(t)^{1/3} \, dt. $$ Ahora, para cualquier $p>0$ $$ \lim_{r\to\infty}\frac{\int_{1}^{r}(\ln t)^p\,dt}{r\,(\ln r)^p}=\lim_{r\to\infty}\frac{(\ln r)^p}{(\ln r)^p+p\,r\,(\ln r)^{p-1}\dfrac{~1}{r}}=\lim_{r\to\infty}\frac{1}{1+\dfrac{p}{\ln r}}=1, $$ para que $$ \sum_{k=1}^n (\ln k)^{1/3}\sim n\,(\ln n)^{1/3}. $$ Este es precisamente el comportamiento asintótico dado en el comentario de Gerry.

Answer 2

No necesitas adivinar $a_n$ .

Por integración por partes obtenemos $$\int_{2}^{n} \sqrt[3]{\log x} dx = n \sqrt[3]{\log n} - C - \frac{1}{3} \int_{2}^{n} (\log x)^{-2/3} dx = n \sqrt[3]{\log n}+ \mathcal{O}(n)$$

Cuando los poderes del $\log$ (por ejemplo $(\log x)^\alpha$ ), suele ser una buena idea intentar la integración por partes, tomando $u = 1$ , $v = (\log x)^\alpha$ .

Véase también: Fórmula de suma de Euler McLaurin .