Una estructura de grupo en un conjunto infinito dado

Question

Si $X$ es un conjunto infinito, ¿podemos convertirlo siempre en un grupo en el que cada elemento tenga orden $\leq 2$ ?

Sólo para un conjunto contable, traté de definir el producto con la propiedad requerida, pero, debido a la infinitud'', no encontré ninguna dirección para seguir adelante.

Answer 1

Si cada elemento de un grupo finito tiene orden $2$ el grupo es de la forma $\bigoplus C_2$ . Podemos extender esta idea a conjuntos infinitos: $\bigoplus_X C_2$ (la suma directa de $|X|$ -muchos $C_2$ s) tiene cardinalidad $X$ si $|X|\ge\aleph_0$ .

Prueba . Se puede identificar $\bigoplus_X C_2$ con el conjunto de subconjuntos finitos de $X$ (cada subconjunto finito $S$ da como resultado un vector con $1$ s en las coordenadas $s\in S$ y $0$ en otras coordenadas). Esto, a su vez, puede dividirse en las partes $X_0\cup X_1\cup X_2\cup\cdots$ donde $X_k$ denota el conjunto de $k$ -subconjuntos de $X$ . Debe quedar claro que existe un mapa onto $X^k\to X_k\cup\cdots\cup X_1$ dada por $(x_1,\cdots,x_k)\mapsto\{x_1,\cdots,x_k\}$ y así concluimos $|X_k|\le |X^k|$ . Por aritmética cardinal sabemos que $|X^k|=|X|$ y tenemos

$$|G|=|X_0\cup X_1\cup\cdots|\le |X_0|+|X_1|+\cdots=|X|+|X|+|X|+\cdots=|X|\cdot\aleph_0=|X|$$

por lo que existe una biyección $X\cong G$ . Entonces transportar la estructura .