Transformadas de Laplace de las funciones de Appell F1, F2, F3, F4 relativas a una de las dos variables.

Question

Funciones de Appell de dos variables $F_1, F_2, F_3$ y $F_4$ tienen numerosos usos en matemáticas aplicadas, especialmente en Física matemática. Estoy buscando transformadas de Laplace generalizadas (si existen) de estas funciones relativas a una de las dos variables (he encontrado al menos dos referencias que dan algunas de ellas relativas a una combinación lineal de las dos variables). En palabras más formales, la pregunta es sobre la búsqueda de formas cerradas para:

$$ I_1 = \int_0^\infty x^\alpha e^{-s \, x} F_{1}(a, b, c, d; x, y) \, dx$$ $$ I_2 = \int_0^\infty x^\alpha e^{-s \, x} F_{2}(a, b, c, d, e; x, y) \, dx$$ $$ I_3 = \int_0^\infty x^\alpha e^{-s \, x} F_{3}(a, b, c, d, e; x, y) \, dx$$ $$ I_4 = \int_0^\infty x^\alpha e^{-s \, x} F_{4}(a, b, c, d; x, y) \, dx,$$

donde $\alpha, s, a, b, c, d, e$ son los parámetros y $x, y$ las variables.

La única pista fiable que he podido encontrar está en el manual de Harold Exton ([2]), donde Exton da un método para encontrar la transformada de Laplace de $F_1$ utilizando representaciones integrales Mellin-Barnes de $F_1$ .
Desgraciadamente, no completó el argumento:

" página 99: (...) Hacemos uso de la integral doble de Barnes para la función F1 de Appell dada por Appell y Kampé de Fériet (1926p página 40. Esta integral es $$F_1(a,b,b',c;x,y) = \frac{\Gamma(c)}{(2 \pi i)^2 \Gamma(a) \Gamma(b) \Gamma(b')} \int_{-i \infty}^{i \infty}\int_{-i \infty}^{i \infty} \frac{\Gamma(a+u+v)\Gamma(b+u)\Gamma(b'+v)\Gamma(-u)\Gamma(-v)(-x)^u (-y )^v}{\Gamma(c+u+v)} \, du \, dv$$ (5.2.4.26)
Ahora se da alguna indicación sobre la evaluación de la integral de Laplace de la función $F_1$

[Exton procede, intercambiando el orden de integración y evaluando la integral interna como una función gamma, lo que da:]

$$P = \frac{(2 \pi i)^2 \Gamma(c) \Gamma(d) \Gamma(d')}{\Gamma(f)} \int_0^{\infty} e^{-s\, t} t^{a-1} F_1(c, d, d', f; xt, yt) \, dt \, \\= \frac{\Gamma(a)}{s^a} \ \int_{-i \infty}^{i \infty}\int_{-i \infty}^{i \infty} \frac{\Gamma(c+u+v) \Gamma(a+u+v) \Gamma(d+u) \Gamma(d'+v) \Gamma(-u) \Gamma(-v) (-x)^u (-y )^v}{\Gamma(f+u+v)} (-\frac{x}{s})^u (-\frac{y}{s})^v\, du \, dv$$ (5.2.4.28) Para obtener una representación de este último resultado en términos de series convergentes, la integral anterior puede escribirse como una integral de tipo Barnes de una función G [Meijer] de una variable. Una manipulación bastante larga conduce finalmente a la suma de seis series hipergeométricas dobles de orden superior con argumento $s/x$ y $s/y$ .

Exton no dio las seis series aludidas, sino sólo casos especiales de interés expresados mediante funciones de Kampé de Feriet o funciones hipergeométricas generalizadas de una variable.
También consideró únicamente el caso en que ambas variables de función $x$ y $y$ están unidas a la transformada de Laplace por la misma variable de integración $t$ pero su método es obviamente válido si sólo se vincula una variable (por lo que sin $t$ como multiplicador de $y$ en $F_1(c, d, d', f; xt, y)$ por ejemplo). El método parece correcto y he buscado por ahí si hay algún papel que dé las formas (probablemente en representaciones de Meijer-G), sin éxito hasta ahora.
En cualquier caso, las representaciones en serie deben no salvo por pistas heurísticas: su dominio de convergencia es demasiado limitado para definir las transformadas de Laplace.
Pero podrían considerarse representaciones integrales de tipo Euler y, como en el libro de Exton, representaciones integrales de Mellin-Barnes (como continuaciones analíticas que dan sentido a las transformadas de Laplace) o posiblemente expresiones como una serie de funciones hipergeométricas de Gauss, ya que éstas pueden tener transformadas de Laplace (véase aquí ). De nuevo, es posible que se hayan publicado, pero no he encontrado nada que responda claramente a la pregunta.

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[2]: Exton, Harold Manual de integrales hipergeométricas. Teoría, aplicaciones, tablas, programas informáticos, Mathematics & its Applications. Chichester: Ellis Horwood Limited Publishers. 316 p. \textsterling 15.00 (1978). ZBL0377.33001 .

Answer 1

Un método sencillo es el siguiente.

Utilizando $$ F_{1}(a; b, c; d; x, y) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(a)_{n+m} \, (b)_{n} \, (c)_{m}}{n! \, m! \, (d)_{n+m}} \, x^n \, y^m $$ entonces \begin{align} I_{1} &= \int_{0}^{\infty} e^{-s t} \, t^{\alpha} \, F_{1}(a; b, c; d; x t, y) \, dt \\ &= \sum_{n,m} A_{n,m} \, x^n \, y^m \, \int_{0}^{\infty} e^{-s t} \, t^{\alpha + n} \, dt \\ &= \sum_{n,m} A_{n,m} \, \frac{\Gamma(n+\alpha+1) \, x^n \, y^m}{s^{n+\alpha+1}} \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}} \, \sum_{n,m} \frac{(a)_{n+m} \, (b)_{n} \, (\alpha+1)_{n} \, (c)_{m}}{n! \, m! \, (d)_{n+m}} \, \left(\frac{x}{s}\right)^{n} \, y^m \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}} \, \large{F}_{1:0,0;}^{1:2,1;}\left(\frac{x}{s}, y \right), \end{align} donde la última función es la función Kampe de Feriet, que en este ejemplo, está definida por $$ \large{F}_{1:0,0;}^{1:2,1;}\left(\frac{x}{s}, y \right) = \sum_{n,m} \frac{(a)_{n+m} \, (b_{1})_{n} \, (b_{2})_{n} \, (c_{1})_{m}}{n! \, m! \, (d)_{n+m}} \, x^{n} \, y^m $$ Nota: la notación completa de la función Kampe de Feriet no se escribe aquí.

De forma similar $$ \int_{0}^{\infty} e^{-s t} \, t^{\alpha} \, F_{1}(a; b, c; d; x t, y t) \, dt = \frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}} \, \large{F}_{1:0,0;}^{2:1,1;}\left(\frac{x}{s}, \frac{y}{s} \right),$$ donde $$ \large{F}_{1:0,0;}^{2:1,1;}\left(x, y \right) = \sum_{n,m} \frac{(a_{1})_{n+m} \, (a_{2})_{n+m} \, (b_{1})_{n} \, (c_{1})_{m}}{n! \, m! \, (d)_{n+m}} \, x^{n} \, y^m $$ y $$ \int_{0}^{\infty} e^{-s t} \, t^{\alpha} \, F_{1}(a; b, c; d; x, y t) \, dt = \frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}} \, \large{F}_{1:0,0;}^{1:1,2;}\left(x, \frac{y}{s} \right),$$ donde $$ \large{F}_{1:0,0;}^{1:1,2;}\left(x, y \right) = \sum_{n,m} \frac{(a)_{n+m} \, (b_{1})_{n} \, (c_{1})_{m} \, (c_{2})_{m}}{n! \, m! \, (d)_{n+m}} \, x^{n} \, y^m. $$

Lo mismo ocurriría con las funciones de Horn (las 34), las funciones de triple variable, las funciones de Lauricella, etc.

Hay otros resultados, pero parecen, en algunos casos, poco eficaces y directos.