Demostrar que $\lim_{x\to 0}\dfrac{a^x-1}{x}= \ln(a)$ utilizando la definición de límite y utilizando el hecho $\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\log_{a}(1+x)}=\ln(a)$

Question

Tengo este problema.

Demostrar que $\lim_{x\to 0}\dfrac{a^x-1}{x}= \ln(a)$ utilizando la definición de límite y por el hecho de que $\lim_{x\to 0} \dfrac{x}{\log_{a}(1+x)}=\ln(a)$ y sin utilizar ningún otro teorema, y por supuesto sin utilizar la regla de L'Hospital.

Me quedé atascado, no sé qué $\delta$ para elegir.

Agradeceremos cualquier sugerencia.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$a^x=e^{x\ln a}=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(x\ln a)^n}{n!}.$$ Por lo tanto $$\frac{a^x-1}{x}=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n-1}(\ln a)^n}{n!}=\ln a+\frac{x(\ln a)^2}{2}+ \dots \to \ln a$$ como $x \to 0.$

O
Utilicemos la sustitución $a^x=y+1$ entonces $x=\log_a(y+1)$ y $y \to 0$ como $x \to 0.$ Entonces $$\lim_{x\to 0}\dfrac{a^x-1}{x}=\lim_{y\to 0}\frac{y}{\log_a(y+1)}= \ln(a)$$

Answer 2

Ponga $x=e^y-1$ y demostrar que $x\rightarrow 0 \implies e^y \rightarrow 1$ .