Quiero encontrar todos los grupos $G$ cuyo $\pi_e \subseteq \{1,2,3,4\}$ donde $\pi_e = \{ o(x) : x \in G \}$ . ¿Es posible este tipo de clasificación de un grupo? Agradecería cualquier tipo de ayuda.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Un problema estrictamente más sencillo es el caso de que todos los pedidos estén en $\{1,2,4\}$ que es lo mismo que decir que quieres $g^4=1$ para todos $g\in G$ .
Para grupos finitamente generados, conocemos la Grupo Burnside $B(n,4)$ es finito (Sanov 1940). Se trata de un grupo con $n$ generadores con la única relación que $g^4=1$ para todos $g\in B(n,4)$ . Todo grupo finitamente generado con su propiedad es un cociente de algún $B(n,4)$ . Por lo tanto, si consigues encontrar todos los subgrupos normales de $B(n,4)$ para cada $n$ se han enumerado al menos todos los grupos de este tipo finitamente generados. No se puede evitar $B(n,4)$ porque es el grupo universal para cada $n$ . Incluso $B(2,4)$ es bastante grande con $2^{12}$ elementos (Tobin 1954).
Podría imaginar que el caso generado infinitamente es arbitrariamente complicado, y no sé nada al respecto.
Permitiendo elementos de orden tres, todo lo que puedo decir es que no conmutan con elementos no triviales de orden divisor de cuatro, ya que su producto sería de orden seis o doce.
