Buscar todos los ideales de $K \times K$ donde K es un campo

Question

Sé que no hay ideales no triviales de ningún campo $K$ . De nuevo $K \times 0$ y $0 \times K$ son ideales no triviales de $K \times K$ . Pero ¿cómo podemos dar una clasificación completa para todos los ideales de $K \times K$ ? Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Si un ideal contiene el elemento $(a,b)$ donde $a \ne 0$ y $b\ne 0$ ¿Qué más debe contener?

Answer 2

Si $A_1$ y $A_2$ son anillos, todo ideal $I$ en $A_1 \times A_2$ puede escribirse como $I_1 \times I_2$ ; ahora un campo $\mathbb{K}$ sólo tiene dos ideales, $(0)$ y $\mathbb{K}$ . Historia final.

Answer 3

La imagen de un ideal bajo los homomorfismos de proyección canónica sobre cada factor sería también un ideal por definición de homomorfismo y por el primer teorema del isomorfismo, todos ideales surgen de esta manera, por lo que mirando a

$$\pi_1:\begin{cases}K\times K\to K \\ (a,b)\mapsto a\end{cases}$$ $$\pi_2:\begin{cases}K\times K\to K \\ (a,b)\mapsto b\end{cases}$$

y observando que los únicos ideales de $K$ son $\{0\}$ y $K$ , consigues que los ideales sean

$$\{\pi_1^{-1}(I)\times\pi_2^{-1}(J)\}=\{\{0\}\times\{0\}, \{0\}\times K, K\times\{0\}, K\times K\}$$

donde aquí, $I,J\in\{\{0\},K\}$ .