¿Qué ideales son radicales?

Question

Para un anillo conmutativo $R$ e ideal $A$ , dejemos que $N(A)=\{x \in R\mid$ existe un número entero no negativo $n$ tal que $x^n \in A\}$ . Para cuál de los siguientes $R$ y $A$ ¿es cierto que $N(A)=A$ ?

I. $R=\Bbb Z,\ A=(2)$

II. $R=\Bbb Z[x],\ A=(x^2+2)$

III. $R=\Bbb Z/27\Bbb Z,\ A=(18+27\Bbb Z)$

Answer 1

I. Verdadero

II. Verdadero : Puesto que $(x^2+2)$ es un irreducible por lo que $f(x)^n = p(x)(x^2+2)\ (i.e., \ f(x)\in N(A))$ implica $f(x)=q(x)(x^2+2)\ (i.e., \ f(x)\in A)$ . Lo contrario está claro.

III No es cierto : $A = \{ 18, 9, 0\}$ y $3\in N(A)$ desde $3^2=9$ .