¿Qué hay de malo en la prueba de que $1!=0$

Question

He encontrado esta prueba que demuestra que $1! = 0$ utilizando la serie Taylor. Esto es lo que hacemos: Empezar con la serie de Taylor de $\sin(x)$ . Obtenemos : $$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$$ Ahora si integramos ambos lados obtenemos: $$-\cos(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \frac{x^8}{8!} + \dots$$ Así que tenemos que $\cos(x)$ es igual a(Multiplicando ambos lados por $-1$ ) : $$\cos(x) = -\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \dots$$ Ahora volveremos a integrar ambos lados, obteniendo : $$\sin(x) = -\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \dots$$ Ahora, si lo reordenamos, obtenemos : $$\sin(x) = \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \frac{x^{11}}{11!} + \dots$$ Ahora, haremos lo mismo con $\cos(x)$ : $$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots (1)$$ Ahora, vamos a reorganizar $\cos(x)$ también, consiguiendo : $$\cos(x) = -\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots (2)$$ Ahora, sabemos que $(1)=(2)$ Así que.., $$1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots = -\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$$ Por lo tanto, obtenemos que $1! = 0$

Pero, ¿qué hay de malo en esta prueba?

Answer 1

La línea 2 está mal. Esa no es la serie Taylor para $-\cos x$ .

Con cualquier función, incluidas las series de Taylor, las antiderivadas sólo se definen hasta una constante. Así que la línea 2 debe decir $$-\cos(x) +C = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \frac{x^8}{8!} + \dots$$ En este caso $C=1$ ya que $\cos(0) = 1$ .

El resto de la derivación encubre el hecho básico de que te falta un $1$ . Así que no es de extrañar que lleve a $1=0$ .