Diferentes tasas de crecimiento

Question

Así que este es un problema de tasa de crecimiento un poco más complicado pero creo que lo he resuelto, sólo quiero confirmar mi respuesta. La pregunta:

---

Una población de bacterias es inicialmente $N_0$ y crece a un ritmo constante $R_0$ . Supongamos que $\tau$ horas más tarde, la bacteria se pone en un cultivo diferente, de modo que ahora crece a un ritmo constante $R_1$ . Determinar la población de bacterias para todo el tiempo.

---

Creo que la solución es $$N(t) = N_0 e^{R_0 t} \;\;\;\;\;\; t<\tau$$ $$N(t)=(N_0e^{R_0 \tau})e^{R_1 t} \;\;\;\;\;\; t \geq \tau$$

¿Es correcto o al menos va por buen camino o está completamente equivocado?

Answer 1

En el último, observa el tiempo crecido a la tasa $R_1$ a partir de la población $N_0^\prime=N_0e^{R_0\tau}$ es $t^\prime=t-\tau$ . Por lo tanto, para $t\geq \tau$ deberías obtener $$ N(t)=N_0^\prime e^{R_1 t^\prime} = N_0e^{R_0\tau}e^{R_1 (t-\tau)}. $$ A modo de comprobación, en $t=\tau$ tanto el primer régimen como el segundo deberían dar el mismo valor (y, por supuesto, en $t=0$ debes obtener $N_0$ ).

Answer 2

Similar a lo que dijo Clemente, yo sólo lo cambiaría para que se vea así:

$$N(t) = N_0 e^{R_0 (t-t_0)} \;\;\;\;\;\; t_0 \leq t<\tau$$ $$N(t)=(N_0e^{R_0 (\tau - t_0)})e^{R_1 (t-\tau)} = N(\tau) e^{R_1 (t-\tau)} \;\;\;\;\;\; \tau \leq t$$

Dado que el libro que usted está recibiendo este problema tiende a utilizar $t_0$ como hora de inicio en lugar de $0$ .