¿Puede alguien explicar por qué el símbolo Levi-Civita Christoffel en general $N$ espacio dimensional tienen $\frac{N^2(N+1)}{2}$ ¿componentes independientes? He leído que en $N$ -espacio dimensional, el tensor métrico tiene como máximo $\frac{N(N+1)}{2}$ componentes independientes y para cada componente podemos tener $N$ cristoffels independientes y así se llega a la expresión final. Pero no consigo entender cómo surgen estos números. Por favor, explíqueme o sugiérame algún libro donde pueda encontrar una discusión detallada sobre esto.
Respuesta
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En primer lugar, hablemos del tensor métrico; tiene $\frac{N(N+1)}{2}$ componentes independientes, porque es un tensor simétrico: $g_{ab}=g_{ba}$ . Escribiendo esto en un formato matricial: \begin{align} [g]&= \begin{pmatrix} g_{11}&\dots& g_{1N}\\ \vdots &\ddots&\vdots\\ g_{N1}&\dots & g_{NN}. \end{pmatrix} \end{align} En este formato, todo lo que se encuentra en la diagonal principal y en el triángulo superior son las componentes independientes, porque las del triángulo estrictamente inferior están determinadas por la simetría. Por lo tanto, basta con contar cuántos tipos de este tipo hay; se ve fácilmente que es $\frac{N(N+1)}{2}$ . Por ejemplo, $N$ entradas independientes en la primera fila, $N-1$ en segunda fila, ..., $1$ en la última fila. Una forma alternativa de contarlos es que hay un total de $N^2$ si ignoramos las entradas $N$ de ellos que están en la diagonal principal, eso nos deja con $N^2-N$ componentes; pero por simetría sólo la mitad son independientes. Por lo tanto, el número total de componentes independientes es $N+\frac{N^2-N}{2}=\frac{N(N+1)}{2}$ (que es otra forma de decir que $1+2+\dots +N=\frac{N(N+1)}{2}$ ).
A continuación, los símbolos Christoffel $\Gamma^{a}_{bc}$ tienen $3$ índices. Cada índice $a,b,c$ puede tomar cualquier valor entre $1$ y $N$ . Así que, a priori, es un total de $N^3$ funciones. Sin embargo, si se consideran conexiones sin torsión (que es el caso de la conexión Levi-Civita, que proviene de la métrica), entonces tenemos simetría en las entradas inferiores, por lo que $\Gamma^a_{bc}=\Gamma_{cb}$ . Esto reduce el número de componentes a $N\cdot\frac{N(N+1)}{2}=\frac{N^2(N+1)}{2}$ componentes ( $N$ opciones para $a$ y $\frac{N(N+1)}{2}$ para las ranuras inferiores $b,c$ teniendo en cuenta la simetría).
