Se define la Cruz del producto sobre el espacio vectorial?

Question

En Wikipedia, un producto cruzado entre dos "vectores" se define en términos del ángulo entre los vectores y sus magnitudes.

1. Como he aprendido de la cruz del producto en el lineal álgebra, ya que entiendo que al ser un el tema sobre el espacio vectorial, ahora me pregunto si el producto cruz no es definido en el espacio vectorial, pero en lugar sólo se pueden definir en un interior espacio del producto, de modo que el ángulo de entre los vectores y sus magnitudes puede tener sentido?
2. O es que hay otra definición de producto cruzado de espacio vectorial?

Gracias y saludos!

Answer 1

Un punto de vista es que el producto cruzado es la composición de la dual de Hodge y el exterior del producto $V \times V \to \Lambda^2 V$ en tres dimensiones. El dual de Hodge requiere de una estructura adicional para definir: se necesita no sólo un producto interior, sino una orientación. Esto refleja el hecho de que existe una opción de uso de las manos en la definición de la cruz del producto.

Otro punto de vista es que el producto cruz no es una operación espacial de los vectores en $\mathbb{R}^3$, pero la Mentira de soporte en el álgebra de la Mentira de $\text{SO}(3)$. Esta es la definición, por ejemplo, que es relevante para la física del momento angular. Por supuesto, si usted insiste en tomar el producto cruz de los vectores espaciales usted necesita una manera de identificar espacial de los vectores con elementos de la Mentira álgebra de $\text{SO}(3)$. Escrito $\text{SO}(3)$ $\text{Aut}(V)$ donde $V$ es un real orientados a 3 dimensiones interiores espacio del producto, la Mentira álgebra de $\text{SO}(3)$ es naturalmente isomorfo a $\Lambda^2 V$, por lo que esta identificación es de nuevo el dual de Hodge.

Answer 2

La cuestión fue estudiada por Grassmann . En ese momento, la gente se rió de él, pero ahora se puede leer toda la información en el artículo de Wikipedia sobre exterior Álgebra .

Answer 3

Estás en lo correcto en que usted necesita un producto interior para definir el producto cruzado. Una imagen geométrica de la misma es el siguiente: tomar dos vectores en tres dimensiones. Ellos determinan un paralelogramo y la cruz de producto se define como el vector perpendicular (con respecto al producto interior) a la paralelogramo y con una magnitud igual a su área.

Nota que hay algo especial en 3 dimensiones que permite que esta definición de trabajo, es decir, que para cualquier plano no hay una única dirección perpendicular. Este no es el caso en otras dimensiones, por lo que esta definición no generalizar. En efecto, como el artículo de la wikipedia de los estados, la única otra dimensión que tiene un análogo de la cruz del producto es de 7 (dimensión 1 también tiene una cruz de producto, pero es trivial-sólo lo negativo de la regular producto de números reales). Lo que es especial acerca de las dimensiones de 1,3 y 7 es que hay división de álgebras sólo en las dimensiones de 2,4 y 8 (los números reales, los cuaterniones, y el octonions). El artículo de la wikipedia habla más acerca de esta construcción.