$I \subset \mathbb R$ es un intervalo abierto, y sea $f: I \rightarrow \mathbb R$ sea estrictamente creciente y continua en $I$ . Mi texto primero demostró que $f^{-1}$ es continua a través de la $\delta-\epsilon$ definición de continuidad. Ahora, en el ejercicio, nos pide que lo demostremos mediante la definición topológica. Después de mucho ensayo y error, esto es lo que se me ocurrió.
En primer lugar, se nos pide que demostremos un lema (y lo he conseguido) según el cual si $U \subset I$ está abierto, entonces $f(U)$ está abierto.
Claramente, $f$ es una función unívoca sobre $f(I)$ Así que $f^{-1}$ existe con dom $f^{-1} = f(I)$ . Ahora, afirmamos que $(f^{-1})^{-1}(V) = f(V \cap I)$ . Por definición, $(f^{-1})^{-1}(V) = \{ \space y \in f(I) : f^{-1}(y) \in V \}$ . Tome cualquier $y \in (f^{-1})^{-1}(V)$ y supongamos que $x \in I$ es el elemento tal que $f(x) = y$ . Así, $x \in V \cap I$ lo que implica que $y = f(x) \in f(V \cap I)$ . A la inversa, tome cualquier $y \in f(V \cap I)$ Supongamos que $x \in V \cap I$ es el elemento tal que $f(x) = y$ . Claramente, $y$ es un elemento de $(f^{-1})^{-1}(V)$ .
Por continuidad, demuestre que $(f^{-1})^{-1}(V)$ está abierto en $f(I)$ para cualquier $V \subset \mathbb R$ . Si $(f^{-1})^{-1}(V) = \emptyset$ entonces está abierto en $f(I)$ . De lo contrario, tome $y \in (f^{-1})^{-1}(V) = f(V \cap I)$ . Por el lema anterior, puesto que $V \cap I$ está abierto, $f(V \cap I)$ es abierto; existe un $\delta$ tal que $N(y, \delta) \subset f(V \cap I) \subset f(V) \cap f(I)$ . Por lo tanto, tenemos:
$$N(y, \delta) \cap f(I) = N(y, \delta) \subset f(V \cap I) = (f^{-1})^{-1}(V)$$
Desde $y$ es arbitraria, $(f^{-1})^{-1}(V)$ está abierto en $f(I)$ .
Como ya he dicho, todo esto fue ensayo y error; no empecé con la intuición de que $(f^{-1})^{-1}(V) = f(V \cap I)$ . Pero a la luz del lema que se nos pedía demostrar, parece ser el enfoque correcto. ¿Sería tan amable de comentarlo, o hay algún enfoque más sucinto?
