Funciones con rango $n$ .

Question

Un conjunto abierto $U\subset \mathbb{R}^n$ contiene la bola unitaria cerrada centrada en el origen $B=B(0,1)$ . Si un $C^1$ cartografía $f:U\rightarrow \mathbb{R}^n$ con rango $n$ obedece a $\|f(x)-x\|<1/2$ para todos $x\in U$ Demuéstralo,

a) $\|f\|^2$ debe alcanzar un mínimo en el interior de $B$ .

b) $f(p)=0$ para algunos $p\in B$ .

Sinceramente, no sé cómo resolver estos problemas. Estoy planeando tomar un examen en pocas semanas que contiene este tipo de problemas. Así que quiero aprender a resolver esto. Así que agradezco si alguien me ayuda.

En primer lugar, ¿qué puede deducirse del hecho de que $f$ es de rango $n$ ? ¿Implica que $f'$ ¿es invertible?

Answer 1

Consejos para empezar: Qué se puede obtener de la condición $\|f(x)-x\|\le\frac12$ cuando $x=0$ ? En $\|x\|=1$ ? Además, considere la derivada de $\|f\|^2$ en un punto mínimo.

Y para la última pregunta: Sí, implica que $f'(x)$ es invertible para cada $x$ .