Media ponderada de un objeto (Centros de masa)

Question

Me cuesta entender el concepto. Por lo general, cuando se calcula el centro de masa de un objeto cuando se da el área y dimensiones que se multiplican las distancias correspondientes con áreas, etc luego dividir por el total son (Dado que estamos utilizando una forma 2D).

Sin embargo, cuando llego a esta pregunta, por ejemplo:

He calculado lo siguiente: $(3*6^{2})-({\pi*3^{2}\over 2})(6-{4\over \pi})$ que se supone que debe dar el centro de masa, pero yo estaba bajo la suposición de que debe dividir por el área total como de costumbre?

¿Puede alguien explicarme por qué no es así?

Answer 1

No sé cómo lo calculas, pero me parece que el CdM $y$ -coord, $y_M$ como sigue. En primer lugar, el área se calcula fácilmente (sin cálculo):

\begin{eqnarray*} A &=& 6^2 - \dfrac{\pi \cdot 3^2}{2} = 36 - \dfrac{9\pi}{2}. \end{eqnarray*}

Ahora, suponiendo que el vértice $A$ está en $(-3,0)$ en el plano cartesiano,

\begin{eqnarray*} y_M &=& \dfrac{1}{A} \int_{-3}^{3} \dfrac{1}{2}(f(x)^2 - g(x)^2)\;dx \\ &=& \dfrac{1}{2A} \int_{-3}^{3} (6^2 - (9-x^2))\;dx \\ &=& \dfrac{1}{2A} \int_{-3}^{3} (x^2 +27)\;dx \\ &=& \dfrac{1}{2A} \bigg[\dfrac{x^3}{3} + 27x \bigg]_{-3}^{3} \\ &=& \dfrac{9+81}{A} \\ &=& \dfrac{20}{8-\pi} \\ && \\ \therefore\quad \text{Distance to CoM from $CD$ is } && 6 - \dfrac{20}{8-\pi}. \end{eqnarray*}