Demostrar que la unión disjunta de 2 n-manifolds es un n-manifold

Question

Si tengo dos variedades n-dimensionales X e Y, ¿cómo demuestro que la unión disjunta de las dos es también una variedad n-dimensional?

Lo que he hecho hasta ahora

$X \sqcup Y = X \times \{0\} \cup Y\times \{1\} $

A partir de la definición de una variedad existe un homeomorfismo que mapea cualquier subconjunto local a un elemento de $\mathbb{R}^n$ . Así $$f_X: X \supset U_X \rightarrow \tilde{U}_X \subset \mathbb{R}^n$$ y algo similar para Y. Si defino una función $f$ que es un compuesto de estas dos funciones no terminaré con

$$f: X \sqcup Y \supset U_X \times \{0\} \cup U_Y \times \{1\} \rightarrow \tilde{U}_X \times \{0\} \cup \tilde{U}_Y \times \{1\} \subset \mathbb{R}^{2n}$$ ?

Seguramente la imagen de $f$ debe ser de dimensión $2n$ . ¿Cómo puede $f$ puede ser un homeomorfismo si mapea desde la unión disjunta del espacio "producto" (que es esencialmente de dimensión $2n$ ) en un espacio de dimensión $n$ .

Edita:

Creo que esta pregunta se refiere más bien a la definición de una unión disjunta. Siempre he pensado que si $X = \{1,2\}$ y $Y = \{3,4\}$ entonces $X \sqcup Y = \{(1,0),(2,0),(3,1),(4,1)\}$ es esencialmente como una versión más primitiva de un producto exterior en un espacio vectorial.

Answer 1

Ok creo que ya entiendo donde estaba mi bloqueo mental. Un producto exterior de la línea real con la línea real es efectivamente un número incontable de uniones disjuntas de la línea real consigo misma mientras que la unión disjunta puede ser mapeada 1 a 1 de vuelta a la línea real.

He aquí un mapa muy sencillo del espacio de $\mathbb{R}^n \sqcup \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ ya que podemos asignar fácilmente $\mathbb{R}^n \rightarrow I^n = (-1,1)^n $ el intervalo unitario abierto extendido de n dimensiones. Como esto es así, obviamente podemos mapear el segundo $\mathbb{R}^n \rightarrow I^n = (-1,1)^n + a$ donde $a$ es una constante de dimensión $n$ con magnitud $>1$ . Así pues, tenemos dos conjuntos abiertos disjuntos asignados a que son ambos un subconjunto de $\mathbb{R}^n$ con lo que completamos la prueba.

Obsérvese que esto falla si tenemos un número incontable de uniones disjuntas ya que no hay suficiente "espacio" para que quepan todas las $I^n$ sin solaparse. Esta es una respuesta muy poco técnica, pero creo que ayuda a visualizar la diferencia entre el producto exterior y la unión disjunta al menos.