Escuché un teorema en el curso de geometría diferencial.
El estado del teorema es
"No existe ninguna superficie cerrada (regular) que tenga sólo curvatura gaussiana negativa".
He intentado demostrar el teorema utilizando el teorema de Gauss-Bonnet, pero no he podido avanzar.
¿Cómo puedo obtener pruebas?
+) Supongo que el teorema anterior también es cierto cuando la palabra "curvatura gaussiana negativa" se sustituye por "curvatura gaussiana no positiva". ¿Es cierto?
En realidad, existen superficies de este tipo en todos los géneros $g=2,3,4,\ldots$ y de hecho montones de ellos.
La hipótesis que parece faltar es que la superficie está incrustada en Euclides $3$ -espacio. Entonces, efectivamente, no se puede tener curvatura no positiva. El argumento más sencillo para demostrarlo es utilizar la compacidad para encontrar un punto de la superficie a la máxima distancia del origen. Entonces se puede demostrar que la curvatura de Gauss debe ser positiva en dicho punto.
En este caso, el teorema de Gauss-Bonnet que mencionas no sirve de nada porque, como ya he dicho, esas superficies existen si se permiten espacios euclidianos de dimensiones superiores.
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