Probabilidad de 2 sucesos

Question

StackExchange ha sido increíble en el pasado, y quiero dar las gracias por adelantado a la mente colectiva de la colmena. Tengo un problema de probabilidad bastante básico que no tengo ni idea de cómo resolver. No estoy buscando la respuesta, sino más bien, cómo abordarlo.

"Supongamos que un experimento conduce a los sucesos A y B con las siguientes probabilidades: $P(A) = 0.6$ y $P(B) = 0.7$ . Demuestre que $P(A \cap B) \geq 0.3$ ."

Supongo que sabemos que los eventos no pueden ser mutuamente excluyentes, ya que $P(A) + P(B) > 1$ . Si los acontecimientos son independientes, entonces $P(A \cap B) = P(A)*P(B) = 0.42$ que supongo que es un límite (¿inferior o superior?) para la probabilidad conjunta.

¿Voy por buen camino? Suponiendo que $A$ y $B$ no son completamente independientes, pero tampoco se excluyen mutuamente, ¿cuál sería mi siguiente paso?

Gracias,

Adam

Answer 1

Sugerencia: debe recordar que $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\leq1$$

Answer 2

La independencia fue una buena idea, ya que te da una forma de relacionar $P(A)$ y $P(B)$ pero en esta situación no sabemos nada de la relación de dependencia entre $A$ y $B$ así que no hay nada que podamos decir usando la independencia. Afortunadamente, la explicación que buscas resulta ser aún más sencilla.

La clave aquí es dibujar un diagrama de Venn. Si $P(A\cap B$ )<0,3, entonces $P(A\cap\neg B)>0.3$ ya que $P(A)=0.6$ . Del mismo modo, $P(B\cap\neg A)>0.4$ . Ahora suma las probabilidades de estas regiones, y obtendrás que la probabilidad de tener cualquiera de los dos $A$ o $B$ pero no ambos es mayor que 1, una contradicción. Por lo tanto $P(A\cap B)\geq 0.3$ .