¿Es correcta esta interpretación de la suficiencia?

Question

Si X es una estadística suficiente para $\theta$ , sé que cualquier g(X) donde g(X) es uno a uno es también una estadística suficiente. Sin embargo, ¿significa eso que (X,Y) también es una estadística suficiente para $\theta$ ?

Por un lado, estoy pensando que es porque semánticamente, ya que X es "suficiente" ¿no significa que añadirle más no disminuirá su ser suficiente?

Por otro, estoy pensando que no lo es porque a partir de la definición de suficiencia, es posible que evaluando la probabilidad condicional no se obtenga una expresión que sea independiente de $\theta$ cuando se añade Y a la mezcla.

Answer 1

Sí, si además de una estadística suficiente añade información procedente de los datos, seguirá teniendo una estadística suficiente. Sin embargo, lo que hay que buscar es un estadístico suficiente mínimo, porque la idea es utilizar el estadístico más pequeño. Por ejemplo, la media muestral de una distribución normal con varianza conocida es un estadístico suficiente mínimo para la media poblacional.