Hallar la base de una matriz.

Question

Estoy luchando con una pregunta en la que conozco una aplicación pero necesito encontrar la base de una matriz dada.

configure $u : E \to E$ siendo E un espacio vectorial R de dimensión n. (perdón por mi inglés)

se da que $$u²+4Id=0$$

unas preguntas antes de esta, tuve que demostrar que u no tenia ningun valor propio y no era biyectiva.pude demostrarlo y espero poder usar $ker(u-\lambda Id)\neq0$ y $det(u)\neq0$

entonces, aquí está el Pregunta : $n = 2$ Me piden que demuestre si existe una base de E donde la matriz de $u$ es:

$$A=\begin{pmatrix} 0&&-4 \\ 1&&0 \\ \end{pmatrix}$$

así que cuando vi esa pregunta pensé que tenía que demostrar que esta matriz es similar a otra matriz de $u$ en una base diferente así que probé :

configure $\forall x \in E$ tomemos $(u(x),x)$ (No sé qué otra base puedo tomar)

$\forall x \in E$ , $\lambda_1 u(x)+\lambda_2 x =0$ sabemos que $ker(u-\lambda Id)\neq0$ lo que significa que $\forall x \in E , u(x)\neq \lambda x$ si $x\neq0$

pero el problema es que no sé si se me permite suponer mi $x\neq 0$ decir que mi familia es linealmente independiente. Además, a pesar de que puede ser una base de E, no estoy convencido de tener la base de mi matriz dado upthere.

Gracias de antemano.

Answer 1

Observe que $u\ne0$ así que $\ker u\ne \Bbb R^2$ así que $x\not\in\ker u$ de ahí $u(x)\ne0$ y luego el conjunto $(u(x),x)$ es linealmente independiente. De hecho, si tenemos $\alpha,\beta\in\Bbb R$ tal que

$$\alpha u(x)+\beta x=0\tag1$$ entonces aplicamos $u$ a $(1)$ para obtener $$-4\alpha x+\beta u(x)=0\tag2$$ y de $(1)$ y $(2)$ encontramos $\beta^2+4\alpha^2=0$ y luego $\alpha=\beta=0$ . Concluya.