Elipse de cobertura de volumen mínimo

Question

Dado un polígono convexo en el plano, considere la elipse de área más pequeña que contiene este polígono. Se trata del "elipsoide que cubre el volumen mínimo" o "elipsoide que encierra el volumen mínimo" (MVEE), y al parecer se ha estudiado bastante. ¿Existe un límite para el volumen de este MVEE? En otras palabras, ¿cuál es?

$$\mbox{sup}\{\mbox{Vol}(E):E\mbox{ is an MVEE for some convex }K\subset\mathbb{R}^{2}\mbox{ satisfying Vol}(K)=1\}$$

En términos más generales, por supuesto, me pregunto cuál sería este valor en cualquier dimensión. Me interesan los polígonos convexos y los cuerpos convexos. Para los polígonos generales la respuesta es no, como se muestra a continuación.

Answer 1

Parece que quieres investigar la teoría de los elipsoides de Löwner-John (que establece que la relación entre el elipsoide inscrito (por volumen) más grande posible dentro de un conjunto convexo $K$ y un elipsoide circunscriptor exterior, está limitado por $n$ ( $\sqrt{n}$ para cuerpos simétricos). A partir de ahí, se obtendría un volumen acotado).

Answer 2

No. Toma un polígono en forma de cruz y haz las ramas tan finas como quieras. Para una unidad de superficie, el círculo delimitador puede ser arbitrariamente grande.