Probabilidad de que de $n$ bolsas, al menos una no contiene ninguna bola negra, si $n$ de $n^2$ las bolas son negras

Question

Estoy trabajando en SL Parsonson's Matemáticas puras y no he podido resolver este problema:

$n^2$ bolas, de las cuales $n$ son negros y el resto blancos, se distribuyen aleatoriamente en $n$ bolsas, de modo que cada bolsa contenga $n$ bolas. Determine la probabilidad de que al menos una bolsa no contenga ninguna bola negra.

La respuesta que da el libro es $1-\frac{(n-1)!(n^2-n)!n^{n-1}}{(n^2-1)!}$ .

Pensé que podría empezar con el hecho de que hay $\frac{(n^2)!}{n!(n^2-n)!}$ disposiciones únicas de las bolas, y $n-1$ particiones que se colocarán a intervalos de n para dividirlas en $n$ bolsas, pero estoy atascado un poco después de aquí.

Answer 1

Estoy imaginando que en lugar de bolsas, tenemos un $n \times n$ cuadrícula de hoyuelos donde podemos colocar bolas. Entonces consideraremos que cada columna de la cuadrícula corresponde a una bolsa.

Tienes razón en que el número de formas de colocar $n$ bolas negras (idénticas) y $n^2-n$ bolas blancas (idénticas) en la cuadrícula es

$$ {n^2 \choose n} = \frac{(n^2)!}{n! (n^2-n)!} $$

Si ninguna columna/bolsa tiene sólo bolas blancas, entonces debe haber exactamente una bola negra en cada columna. Hay $n^n$ formas de hacerlo.

Así que la probabilidad de que alguna columna/bolsa SÍ contenga sólo bolas blancas es el complemento de esa proporción,

$$ P = 1 - \frac{n^n}{n^2 \choose n} = 1 - \frac{n!(n^2-n)! n^n}{(n^2)!} $$

La respuesta dada ha anulado unos cuantos términos, reduciendo (o quizás simplificando) ese resultado mediante $n! = n (n-1)!$ , $n^n = n \cdot n^{n-1}$ y $(n^2)! = n^2(n^2-1)!$

Answer 2

Podría ser más fácil considerar que todas las bolas son distintas (digamos, numeradas de $1$ a $n^2$ ).

Entonces el número total de arreglos es

$$ \binom{n \times n}{n}\binom{n \times (n-1)}{n} \cdots \binom{n}{n}= \frac{(n^2)!}{(n!)^n} \tag 1$$

Del mismo modo, el número total de disposiciones que tienen una bola negra en cada una (suceso complementario) es

$$n! \frac{(n^2 -n)!}{((n-1)!)^n} \tag2$$

La relación $(2)/(1)$ es

$$ \frac{n! \, n^n (n^2-n)!}{(n^2)!} = \frac{(n-1)!n^{n-1} (n^2-n)!}{(n^2-1)!}$$