Intercambio entre base 10 y base 2: ¿existe algún criterio para definir cuándo la representación numérica será finita?

Question

Estaba haciendo unos ejercicios sobre conversión de representación numérica entre base 10 y base 2. En particular, yo estaba resolviendo el ejercicio: $(3.1416)_{10} $ a base 2. He resuelto unas dieciséis interacciones sobre la parte fraccionaria y no esperaba que terminara muy pronto (en realidad esperaba que apareciera algún punto).

Así que mi pregunta es: ¿existe algún criterio para decidir cuándo la representación numérica será finita?

Answer 1

Sí. El número real $x$ puede escribirse en base $2$ con un número finito de dígitos si y sólo si $x$ es racional y su denominador (escrito en el término más pequeño) es una potencia de dos.

Como prueba, obsérvese que dividiendo por $2^n$ es base $2$ puede hacerse desplazando el punto hacia la derecha $n$ lugares, y a la inversa, si $x$ tiene $n$ dígitos entonces $2^nx$ es un número entero.

Answer 2

La base $b$ representación de $x$ es finito si y sólo si $b^d x$ es un número entero para algún $d$ . Si escribe $x$ como un número racional de la forma $m/n$ (en términos más bajos), lo que necesita es que con $n$ divide alguna potencia de $b$ .

Equivalentemente, todo primo que divide a $n$ también divide $b$ . Si $b = 2$ el único primo permitido es $2$ : $n$ debe ser una potencia de $2$ .

Ahora bien, si la representación decimal de $x$ es $A.B$ es decir, la parte fraccionaria de $x$ es $B/10^d$ donde $B$ consiste en $d$ dígitos, esto equivale a $B$ siendo divisible por $5^d$ .

Answer 3

Un número racional escrito como $\frac pq$ en términos mínimos, tiene una representación binaria finita si y sólo si $q$ es una potencia de $2$ .

Cómo funciona esto si tu número original es una fracción decimal es:

• Si la representación decimal no termina, la binaria tampoco.

• Si la representación decimal termina, toma todas las cifras que siguen al punto decimal y comprueba si el número que forman es divisible por $5^n$ donde $n$ es el número de dígitos. La representación binaria es finita exactamente si $5^n$ divide los dígitos.

Por ejemplo $1416$ no es divisible por $5^4$ Así que $3.1416$ no tiene una representación de fracción binaria finita.

Por otra parte $123.625$ tiene una fracción binaria finita porque $625$ es divisible por $5^3=125$ .

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Ah, y por cierto, el período de la representación binaria de $3.1416$ es exactamente $500$ bits de largo. (Encontrado de la manera aburrida escribiendo el programa para hacer la división larga $1416\div10000$ en base $2$ y comprobar cuando se repite el resto).

Answer 4

Comprobar si la representación numérica del número

$r= (3.1416)_{10} $

es finito sólo se necesita la parte fraccionaria del número

$frac((3.1416)_{10}) = (0.1416)_{10} = \frac{1416}{10000}$

Primero convierte la fracción a los términos más bajos ( irreducible)

$\frac{1416}{10000} = \frac{117}{1250}$

entonces comprueba los factores primos del denominador :

$1250 = 2*5^4 = 2^1*5^4 = 2^t*q$

así que

• preperíodo t = 1
• período = $\phi(q) = \phi(5^4) = 500$

Se puede compruébelo en línea :

$0.0(00101111111011000101011011010101110011111010101011001101100111101000001111100100001001011010111011100110001100011111100010100000100100000010110111100000000011010001101101110001011101011000111000100001100101100101001010111101001111000011011000010001001101000000010011101010010010101000110000010101010011001001100001011111000001101111011010010100010001100111001110000001110101111101101111110100100001111111110010111001001000111010001010011100011101111001101001101011010100001011000011110010011110111011)$